2台目パソコンでプリンター名が表示されない問題の解決方法

2台目のPCのIPアドレスはプリンターと通信可能なIPアドレスになっていますか？
IPアドレスのセグメント一致とは？
https://www.iodata.jp/support/qanda/answer/s18060.htm

かんたん設置ガイド
https://download.brother.com/welcome/doc101207/cv_dcp4140n_jpn_qsg.pdf
　ドライバー類はCDからではなく下記から
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadlist.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj4140n&os=10013
ここにあるアンインストールツールで一旦ドライバーを削除し,PCを再起動する。
そして、ここからPCのOS(bitも合わせる）に合わせたフルパッケージを再インストールしてください。
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<参考>
インストールプログラムのダウンロード手順とプリンタードライバのインストール手順
https://support.brother.co.jp/j/s/support/information/faq/install/pdf/INS0031.pdf
(4)から進めれば分かりやすいでしょう。

【インクジェット/レーザー プリンター・スキャナー】ドライバーのアンインストール方法（Windows、macOS）
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10363/
機種を選択して操作方法を確認してください

まず、機器類（プリンター・PC/スマホ・無線LANルーター等）の再起動をして改善するか確認してみてはいかがでしょうか。

ブラザーのオリジナルドライバーは入れられておりますでしょうか？
付属CDを使用するのではなく、ブラザーホームページよりプリンタードライバーを入れてみてはいかがでしょうか？

・プリンターの電源を切っておく
　※この時USB接続されている場合は抜いておく
・ブラザーのドライバーをインストールしている場合は、
　一旦、プリンタードライバーをアンインストールしてPCを再起動
　※同じようなプリンタードライバーを登録していればそれも削除
　※ブラザー公式のアンインストールツールを使用してください
　※セキュリティーソフトを一旦停止しておく
・以下ページより、フルパッケージダウンロード 【推奨】を選択しダウンロード
・ダウンロードしたフルパッケージドライバーをインストール
これで症状が改善されるかご確認ください。

ソフトウェアダウンロード
↓↓↓↓↓
https://www.brother.co.jp/download/software/index.aspx

動画で見る！ かんたん無線（Wi-Fi）ガイド
↓↓↓↓↓
https://support.brother.com/g/s/id/wlan_guide/j880/wlan_jp/

Webページからドライバーをインストールする方法
↓↓↓↓↓
https://www.youtube.com/watch?v=V7pUbPDKogU&feature=youtu.be

【インクジェット/レーザー プリンター・スキャナー】ドライバーのアンインストール方法（Windows、macOS）
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10363/

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj4140n
こちらですね。

取りあえずプリンタの電源を切った状態で「フルパッケージダウンロード【推奨】」を実行して画面の指示に従いプリンタの電源を入れてドライバをインストールしてみるとか。

Web Based Managementにアクセスする
https://support.brother.co.jp/j/s/support/html/cv_dcp4140nc_jpn/doc/html/GUID-01123D26-62DC-4557-9436-E6056568F2F8_477.html?c=jp&lang=ja&prod=dcpj4140n&broug=in
プリンタのIPアドレスがわかっているなら2台目のPCの方で上記を参考にプリンタの設定画面が表示できるのか？念の為、確認してみましょう。