インクジェットプリンターの電源を入れっぱなしにするとインクの持ちがいいのか

ブラザーの機種においては、電源を切っていても、ノズルのコンディションの維持のため、タイマーで定期的にクリーニングが実施されるものがあります。
その機種の場合、理屈上は、購入して初期設定をして電源を切っていても、
コンセントにつながっていたら定期的なクリーニングだけでインクが無くなる、
ということが起こりうる仕様となっています。
（キヤノンやエプソンは、次回利用時に検出したら利用者に判断を促す形です）

>インクとヘッドのパフォーマンスをあげている
パフォーマンスを上げると言うよりは落とさない、ということかと。
インクなので、厳密に言えば色素沈降が起こりえますから、
定期的にインクが動くことで、撹拌がおこり、目詰まりの予防にはなると思います。
キヤノンやエプソンは月一回くらい、ユーザーが電源を入れることで
対処をするというスタンスですので、定期的に使うのであれば、
さほど気にすることは無いと思います。
逆に年賀状だけ使って電源オフなどの場合は、翌年苦労することもあります。
この辺は使い方の問題でしょう。

「頻繁に使うのなら」ではないでしょうか。

長期間使わない、とかでしたら、やはり電源を切ったほうが、少なくともインクに関しては長持ちしそうに思えます。