dcp-j4220n 紙がつまる

ブラザー標準のクリーニングキットはプラスチックの板なので引き込まれない仕様
https://support.brother.co.jp/j/b/faqend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj4220n&faqid=faq00012049_013

市販のクリーニング用紙を使う場合は厚い用紙種類に変更が必要な場合が多いです　ハガキや高画質写真用紙など

トレイについては故障の可能性も否めないので不明です

文字カスレは紙詰まりとは関係ない　プリントヘッドの問題になります　ヘッドクリーニングに用紙は不要ですし　目詰まりは印刷品質チェックシート印刷で普通紙を使います

>実は以前からメインのトレイが詰まってしまうので、
>普段から多目的トレイを使ってます。
給紙ローラーの清掃は試しましたか？
用紙をセットする際に良く捌いてセットしないと、
紙粉（裁断粉や繊維くず）がローラーの表面に貼りついてしまい、
滑ってしまうので給紙不良が発生しやすくなります。

DCP-J4220Nの場合は、
https://support.brother.co.jp/j/b/faqend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj4220n&faqid=faq00012049_013
を参考に作業してみてください。
添付されていた「付属の洗浄用シートと拭き取り用シート」が無いようなら、
プリンタクリーニングシート(A4サイズ3枚入り) CK-PRA43
https://www.elecom.co.jp/products/CK-PRA43.html
を、
ステップ3：白紙コピーで水分を完全に取り除く
のみを複数回（4-5回）実施することで、
クリーニングシートを空通しして、
粘着面を給紙ローラーに触れさせることで、
ローラー表面の紙粉を剥ぎ取るようにクリーニングしてみてください。

そのうえで、印字品質チェックシートの出力と、
ヘッドクリーニングを適宜行ってみてください。

給紙ローラーを清掃するには。
https://support.brother.co.jp/j/b/faqend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj4220n&faqid=faq00012049_013
給紙ローラーのクリーニングをやってみるぐらいです。

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj4220n
本製品は、供給部品の保有期限が過ぎたため、修理対応を終了させていただきます。 なお、修理以外のお問合せについては、このままサポートを継続いたします。（2020/04/01）

となっているのでプリンタ自体の買い替えも検討して良いかも知れません。