はがき印刷中に色が抜ける問題の解決方法は？

>MFC-J6980
>インクカートリッジを触っていると「純正インクでない」との表示
純正カートリッジを使っていて、触ったことでチップの接触不良が生じたためかもしれませんが、
https://www.brother.co.jp/product/printer/inkjet/mfcj6980cdw/accessory/index.aspx
に掲載の3117/3119番brother純正品ですか？

非純正品を複数回使っているようだと、
インクタンクから噴射孔までのインク搬送経路に気泡が入り込み、
インク噴射のための圧力が無力化してしまっているかもしれません。
こうなってしまっていると、
クリーニングのための噴射もままらならないので、
修理しか回復の手段がない可能性があります
https://www.brother.co.jp/product/support_info/repair_serv/mfc_color_inkjet/index.aspx

プリンターメーカーに修理依頼することをお勧めします。
印刷を急ぎたい場合はプリンターを持つている親戚や友人
から借用を依頼して印刷すると良いでしょう。

＞インクカートリッジを触っていると「純正インクでない」との表示

とのことですが、実際には純正インクをお使いなのでしょうか？

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6980cdw
こちらですか？
https://support.brother.co.jp/j/b/midlink_os.aspx?source_c=popup_2&c=jp&lang=ja&prod=mfcj6980cdw&site=pc&type2=1004&orgc=jp&orglang=ja&orgprod=mfcj6980cdw&targetpage=18
ファームウェアの更新を促すよう出るので取りあえず更新してみましょう。

https://www.brother.co.jp/product/support_info/repair_serv/index.aspx
https://www.brother.co.jp/product/support_info/repair_serv/mfc_color_inkjet/index.aspx
あとは修理に出してみるぐらいしか無いかと。

純正インクを使わない、壊れた可能性あり、純正購入してクリーニングで直ればよいが、駄目でプリンター購入になる可能性あり。