新しいプリンターに古いインクを使用する際の注意点とは？

>実際は空なのを見過ごして使い続けると色合いがおかしくなるとか、故障の原因になりえますでしょうか？

はい。色味がおかしいとかのレベルではなく、
本体に致命的なダメージを与える状況になります。

ブラザーのインクジェットは、圧力でインクを噴射します。
（極細の注射器が数百本まとまっているイメージ）
カートリッジのインク残量が無いのに吸い上げると、注射器に気泡が入り込みます。
（ストローで飲むドリンクを飲み切ったとき、ジュルジュルいって飲み物と空気が入りますよね？あれと同じ）

こうして気泡が噴射機構に入り、限度を超えると、
いくら注射器のピストンを押しても、
気泡が圧力を吸収してしぼむだけで、無力化されてしまうために
インクが噴射できなくなるだけでなく、
それ以上カートリッジからの吸引もできなくなってしまいます。

こうなると、印刷品質チェックシートの印刷はもちろん、クリーニングのための噴射・吸引もままならなくなり、修理しない限り復旧しなくなります。

ミクロのサイズの注射器なので、
現実にはごくわずかな気泡で影響が出てしまいます。
非純正インクの最大のリスクは、実はこれです。
使用済みカートリッジに再充填するタイプは時限爆弾を仕込むのとほぼ同じ。
カートリッジ自体も作っている非純正も、インクの抜気を徹底することは設備投資が過大になるため、手抜きになりがちです。

非純正を使ってみて、「あ、大丈夫じゃん」と最初思うのですが、
すでに気泡が入り始めていて、少し継続すると基準を超えて噴射できなくなる。
このQ&A掲示板でのインク噴射不良のほとんどがこれですね。

ちょっと横道にそれましたが、
インクジェットプリンターの噴射機構の最大のリスクは
気泡の侵入なわけで、これを誘発することになるので、
くれぐれも残量を切らないようにしてください。