MFC-J6973CDWの紙詰まり修理方法とヘッドクリーニングの効果について

まず、給紙不良については
あなたの隣で直接実機の状態を見られるわけではないので、
>修整を行っておりますが一向に直りません
これでは、あなたが適切な対処を行っているのか、
第三者は判定できません。

マニュアル一覧
https://support.brother.co.jp/j/b/manualtop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6973cdw
↓
ユーザーズガイド ～基本編～
https://download.brother.com/welcome/doc100405/mfc6973cdw_jpn_busr_lew550047_a.pdf
41～45ページ「用紙が詰まったときは」
を一通り実施して物理的な紙詰まり要因をしっかり除去してから、
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給紙ローラーを清掃するには
https://support.brother.co.jp/j/b/faqend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6973cdw&faqid=faq00012049_014
により、
各給紙経路からの用紙取り込みを安定させる必要があります。

上記の清掃が終わったら、
ファームウェア（本体の動作制御プログラム）をパソコンから更新して、最新の制御プログラムを適用してください。
これにより、給紙周りの動作も最適化されることがあります。

ひととおり、ここまでをまず行ってから、
用紙のセットの前には、4辺持ち替えてパラパラ漫画のようにさばいて、付着した紙粉（裁断粉や繊維くず）や静電気をしっかり落としてから、トレイにそろえてセットしてください。
これだけで給紙精度は全く変わります。

次に
>色が度々混ざってします
については、そもそも
https://www.brother.co.jp/product/printer/inkjet/mfcj6973cdw/accessory/index.aspx
に掲載の113/115/119番brother純正品を継続して使用していますか？
混色が発生するのは非純正品の利用に起因することが多いです。

まずは上記の運用改善で
回復するのかを確認されることを推奨します。

修理をするのなら
https://www.brother.co.jp/product/support_info/repair_serv/mfc_color_inkjet/index.aspx
19800円の定額制料金と、引取なら送料2750円、出張なら出張料8800円が必要となります。
まずは前述の通りの運用改善を行ってみることを推奨します。

購入してから、どの程度使用したかや不具合の状況ににより
修理金額が変わると思います。
このプリンターを購入した販売店に持参して概算の修理金額
を見積依頼することをお勧めします。
概算の修理金額により修理するか、新しいプリンターを購入
するかを判断します。

Q&Aは一般の人が回答するところです。
ブラーザーのお客様窓口で修理の依頼をしないと何も始まりません
https://support.brother.co.jp/j/s/support/contactus_cat/inkjet.html?utm_source=contactuslist&utm_medium=banner&utm_campaign=contactus

A3カラー/ビジネスインクジェット複合機の修理サービス
https://www.brother.co.jp/product/support_info/repair_serv/mfc_color_inkjet/index.aspx

修理するとなると結構高いです。
買い替えを考えた方が得策かもしれませんね

MFC-J6973CDW は、2015年発売機種ですが、まだ修理受付可能なようです。

＞料金と申込方法|修理申込|ブラザー
＞https://myportal.brother.co.jp/ContactUs/RepairRequest1.aspx?model=MFC-J6973CDW&type=public&repairType=normal

買って一年以内ってことはないでしょうから有償修理、そうすると修理費と引き取り送料で 19,800円 + 2,750円 ＝22,550円(税込) と言うことになります。

まあ、A3複合機ですと、買い換えるよりは安いと言うことになるでしょうかね…。
買い置きのインクがあった場合、買い換えた機種では使えないでしょうし。

今回は修理し、買い置きのインクはなるべく使い切る(買い溜めしない)、次回壊れたら買い換える、という感じでどうでしょう。
買い置きインクが無ければ、今回買い換えも良いですが。