MFC-6890CNのテストプリントで白紙の出力がされる問題について

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfc6890cn
本製品は、供給部品の保有期限が過ぎたため、修理対応を終了させていただきます。 なお、修理以外のお問合せについては、このままサポートを継続いたします。（2016/04/01）

となっているのでそろそろプリンタ自体を買い替えを検討してはどうでしょう。

ヘッドクリーニングの方法
https://support.brother.co.jp/j/b/faqend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcp595cn&faqid=faq53100017_002

ふたたび「印刷品質チェックシート」を印刷し、改善していないようなら、あと3回（合計5回）まで繰り返しクリーニングを行ない、都度「印刷品質チェックシート」で確認してください。それでも改善が見られない場合は、ブラザーコールセンターへお問い合わせください。

となっているので5回繰り返してもだけなら諦めた良いかも知れません。

>5・6年使用していない状態
溶剤が徐々に揮発して、装着しているインクの粘度が上がっているため、これを解消する必要があります。

1.ファームウェアの更新
2.カートリッジの交換
3.日を分けながら徐々にクリーニング
の順で進めていく必要があります。

まずは1.のファームウェア（本体の制御プログラム）を更新することです。
最新は「2010/05/27更新の(ver. J)」です。
現在のバージョン確認方法は下記の通りです。
https://support.brother.co.jp/j/b/faqend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfc6890cn&faqid=faq00100005_008

もし、バージョンがJ未満であれば、更新してください。
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9634#ews
を参照して、ネットワーク接続していれば管理画面から更新。
パソコンとUSBで直結しているなら、パソコン側で
Windowsの場合：
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfc6890cn&os=10013&dlid=dlf104651_000&flang=1001&type3=1043
などから更新データをダウンロードして適用してください。

2.については、
すべてのカートリッジを
https://www.brother.co.jp/product/printer/inkjet/supply/index.aspx#ink13
の16番ブラザー純正品に変えることで対処ください

3.については、
マニュアル一覧
https://support.brother.co.jp/j/b/manualtop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfc6890cn
↓
取扱説明書（本体）
https://download.brother.com/welcome/doc012145/mfc6890n_jpn_usr_b.pdf
167ページ「印刷品質をチェックする」に沿って本体操作し、
インクの噴射状態を確認しながら、クリーニングをしてください。

印刷品質チェックシート＆クリーニング は、
1日に3セット程度にとどめてください。
4回目が必要な状況であっても、一度電源ボタンで電源を切って、
12時間ほど時間を空けてください。

今回の場合、
かなり強固にインクが固まっている可能性があるので、
連続でクリーニングをするのでは無く、
複数日に分けながら、カートリッジからの新鮮なインクを
経路に徐々に供給することで、
固まったり粘度が上がっているインクをふやかしながら、
徐々に改善していく必要があります。

このとき、連続で実施すると、効果が上がりません。
そればかりか、廃インクタンクの容量を消費してしまうので避けた方がよいです。
ふやける時間を確保しながら続けるのがポイントになります。

これで印刷品質チェックシートに改善兆候が見られたら、
少しずつ改善してくるものと思われます。