Macとプリンター接続できない

MACOSに対して各メーカーから自社プリンターの専用ドライバーが提供されなくなった事に関してですが。

基本的な対応に関してユーザーサイドが誤認している事があります。

https://support.hp.com/jp-ja/document/c04534033
HPプリンター - Apple Software UpdateからHPドライバーが利用できなくなった
ppleでは、Apple Software Update (ASU) からHPプリントドライバーを提供しなくなりました。
HPソフトウェアおよびドライバーダウンロードからHPのプリントドライバーを見つけることができます。お使いのプリンターでもApple AirPrintがサポートされている可能性があります。詳細については、「Printing with Apple AirPrint」 (AppleのAirPrintを使用した印刷) に移動し、 を参照してください。

要はAppleサイドがプリンターメーカーが提供する各社各機種の専用ドライバーを拒否してApple AirPrintのみに修練させる施策を取っているのです。

流石に世界1位のプリンターメーカーですので、他社の様にお茶を濁す様な表現はしませんね。

最近 MBP (MacBookPro) を購入されたということは MBP の MacOS は OS11 Big Sur ですね。

そうなのであれば Brother HL-5350DN は OS11 Big Sur 用 Driver を出していませんので、Printer を買い換えるか、Brother さんが HS-5350DN 用 Mac0S11 Big Sur 対応 Driver を出すまで待つしか MBP で HL-5350DN に Print させる事はできません。

しかし、既に HL-5350DN を使われていたという事は HL-5350DN で Print 可能な PC (Personal Computer) があるのではないでしょうか？

Print Out したい MBP の Data を USB Memory に Copy してもう 1 台の PC に Copy するとか、Free の File Data 保管 Service Site に Upload してもう 1 台の PC に Download させる (Free で済むのは数日間だけで以後は自動的に消去される Service が多いです) といった手法等があるでしょう。

私は古い Data を扱うために 古い MacOS を入れた複数の MacBook も所有しているのですが、Network Cable 繋いだり外したりするのが面倒臭いので SD Memory Card に Copy したものを目的の MacBook まで歩いて持って行って Data を入れる Footwork Connection(笑) で使っています。

素敵な Mac Life を(^_^)/

>最近Macbookproを買った
あなたの購入したMacBookProは誰もその詳細仕様を知りません。
・MacBookProのmacOSのバージョンはなんですか？
・最近ということはM1チップ搭載のものですか？

対応OS一覧
https://support.brother.co.jp/j/b/oslist.aspx?c=jp&lang=ja&prod=hl5350dn
には10.15までの対応となっていますので、
対応外ということはBigSur(macOS11)ということでしょうか。

macOS11 Big Sur対応状況
（プリンター·複合機、ドキュメントスキャナー）
https://support.brother.co.jp/j/b/oscontents.aspx?ossid=3
に記載がない機種ですので
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「製品対応表」に 掲載していない製品はmacOS 11に対応しておりません。
※ご注意：macOS 11に macOS v10.15.x対応のドライバーやソフトウェアを インストールすることはできません。
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もともと
Brother機のBigSur対応の前提は、自社製ドライバーではなく
AppleのAirPrintでの対応ですが、
AirPrintの対応でも非掲載ということで、残念ながら手はありません。

2009年のモデルで、
2018年3月末にメーカー修理も満了しており、
買い換えもやむなしかと思います。

現在、家庭やSOHO向けのプリンター3社のうち
CanonやBrotherは
macOSへのドライバー開発・供給を取りやめ、
Apple AirPrintに丸投げする方向に舵を切っています。
自社製ドライバー供給はEPSONだけになってきていますので、
利用形態に合わせて選択されるのがよいかと思います。

HL-5350DNの仕様が
https://www.brother.co.jp/product/printer/laserprinter/hl5350dn/index.aspx
A4モノクロの30ppm機で、双方向パラレル、USB、有線LAN接続対応ですが、
双方向パラレルはMacBookProでは現状使えないことを考えると、

顔料のインクジェット
https://www.epson.jp/products/bizprinter/search/compare@62,63,73,74
あるいはモノクロレーザー
https://www.epson.jp/products/bizprinter/search/compare@47,48
あたりの選択になるでしょうか。