スマホ画像の印刷方法

あなたの隣で実機を見られるわけではないので、
[スマホ]-(Wi-Fi)-[Wi-Fiルーター]-(Wi-Fi)-[DCP-J567N]
のように、
「Wi-Fiルーターを介して、スマホとプリンターが接続できている」
ところまでは完了していることを前提に。

マニュアル一覧
https://support.brother.co.jp/j/b/manualtop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj567n
↓
モバイルプリント&スキャンガイド Brother iPrint&Scan (Android™)
https://download.brother.com/welcome/doc100147/cv_jpn_mpg_ard_b.pdf
4ページ「ブラザー製品を選択する」からはじめてください。

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj567n
こちらですね。
DCP-J567Nはルーターと無線LAN接続しその無線LANルーターに「Brother iPrint&Scan」をインストールしたスマホを無線LAN接続しているって事で良いのでしょうか？

https://support.brother.co.jp/j/b/manualtop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj567n
にある「モバイルプリント&スキャンガイド Brother iPrint&Scan (Android™)」などを参考にしてみては？
「Brother iPrint&Scan」を起動すれば自動的にDCP-J567Nを見つけて印刷が可能かとは思います。

無線LAN機器を経由しない　Direct印刷？　アプリの動きが不安定な印象です
https://download.brother.com/pub/jp/privio/catalog/maruwakari.pdf

DCP-J968N　Androidスマホ　スマホは既に宅内無線LANに登録済み　なので無線LAN無しと同じ結果にならなかも知れません

アプリを起動するとプリンター登録の画面が出て　ネットワークプリンターを検索

プリンター側の設定から　ネットワーク　Wi-Fi Direct　手動接続　登録中の画面　SSIDやPW？が表示される

アプリ側で対象機種が見つかったら？　プリンター機種名の登録画面が出るのかな？

何かのタイミングでアプリ画面にプリンター名が出たものの　操作の完了メッセージは出ずでした

どちらも正常に完了しなくても　iPrint&Scanの起動画面にプリンター名が表示されていたら（画面最下段）登録完了になっているようです

上手くいかなかったら　一度アプリを終了させて再起動してみる

既に宅内無線LANに接続済みですが　Wi-Fi Directデバイスとしても登録できました

プリンター側も全てのメニュー　ネットワーク　Wi-Fi Directの接続情報にスマホに入れた機種名が登録されていました

https://play.google.com/store/apps/details?id=com.brother.mfc.brprint&hl=ja&gl=US
スマホに↑インストール