ブラザープリンタMFC-J6580CDWのメモリがいっぱいで印刷やスキャンができない

>そもそも、メモリ自体が何を指すのか
プリンターに実装されている、一時作業用の領域ですね。
（パソコン同様、ハードディスクのような永続用ではなく、また、SDカードやUSBメモリーなどでもありません）

たとえば、ADFでA3などの大きな原稿を高解像度でスキャンやコピー、ファクスの原稿と指定した場合などは、
それぞれの処理待ちの間、プリンター上のメモリで一時待機しますが、ADFなどでじゃんじゃん読み込むと、
その一時待機領域も消費してしまうことがあります。
（原稿の面積やカラー/モノクロの別、解像度などによるので、一概に○○枚が限界、とは言えないですが）

で、複合機の場合、各機能で全体のメモリーを共有するので、
一般的には直近の作業によるメモリー消費が直接的な原因になります。
なお、受信ファクスのネットワーク転送などを行っていると、
何らかの原因でそれらが滞っている場合、
プリンターに保持されるため、これらも原因になることがありますね。

この場合、
マニュアル一覧
https://support.brother.co.jp/j/b/manualtop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6580cdw
↓
ユーザーズガイド ～基本編～
https://download.brother.com/welcome/doc100628/mfc6580cdw_jpn_busr.pdf
53ページにそって、×マークを押して、
その直近の作業を中断することで、
それまでのデータで処理をするか、
全体をキャンセルするか選べるようです。

なお、これらの制御を向上させるために、
ファームウェア(本体の制御プログラム)は定期的に更新してください。
https://support.brother.co.jp/j/b/faqend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6580cdw&faqid=faq00100005_025

現在のMFC-J6580CDWのファームウェアは、
2021/03/11更新のVer.Pです。

以下を参照して下さい。
https://support.brother.co.jp/j/b/faqend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6580cdw&faqid=faq00010195_068