プリンターのトナーが検知できません！黒色のところにインクが溢れている。

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6583cdw
こちらですね。

他の方が回答されていますがお使いのプリンタはインクジェットプリンターなのでトナーは使っていません。
「トナーが検知できません」と出ているのは恐らくエラーメッセージがレーザープリンターと共通しているのかも知れません。

>黒色のところにインクが溢れている。検知できていない色は黒です。

純正インクカートリッジをお使いですよね？その前提で書きますがインクカートリッジを外してインクカートリッジにインクが付いて汚れている様なら丁寧に拭きましょう。
またインクカートリッジが取り付けられるプリンタ側の方もインクで汚れているなら綺麗に拭きましょう。
そして再度取り付け直してみるぐらいかと。

>MFC-6583CDW
この型番の機種に尋ね当たりません。
MFC-J6583CDWのことでしょうか？
https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6583cdw
でも、こちらの機種はインクジェット方式なので、
基本的に
>トナーが検知できません　というメッセージがでて
「トナー」はレーザープリンターの消耗品で、
樹脂をベースにしています。
その一方で
>黒色のところにインクが溢れている。
という状況もあります。
いちど、機種名およびメッセージを確認いただいた方が良いでしょう。

仮に、MFC-J6583CDWだとするならば、
装着しているインク4本ともすべて
https://www.brother.co.jp/product/printer/inkjet/mfcj6583cdw/accessory/index.aspx
に掲載の3117/3119番純正品ですか？