MFC-J6583CDWのプリンタドライバーが削除できず、インストールもできない。解決方法は？

OSが不明ですがWindowsと仮定します。
0.ルーターを再起動させておく
→おそらくオフラインになったのもこれで回復していたはず

1.まずは必ずプリンターの電源を切っておく
→インストールの時の指示があるまでオフのまま

2.下記のBrotherサイトよりアンインストールツールをダウンロード・実行して現在のドライバーを正しく削除する
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6583cdw&os=10013&dlid=dlf013746_000&flang=1001&type3=1039
※アンインストール完了後、必ずPCを再起動させる

3.再起動後、下記のフルパッケージダウンロードをダウンロード・実行して画面の指示に沿って進み、パソコンとの接続方法を選ぶところで、プリンターの電源を入れ、USBケーブルで接続をして、
インストールプログラムにプリンターを検知させる。
→おそらくプリンターの電源を入れたまま、USBケーブルを挿したままの可能性があり、プリンターを検知できず、ずっと待ちになっている可能性が高い。
検知できないケースとしては、プリンターがエラー状態（インク切れ、紙詰まり、インク非認識など）で未対処のままである場合など。

4. インストールができたら、続けて下記の差分を適用する
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadlist.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6583cdw&os=10013
・ファームウェア更新ツール
・ネットワーク診断修復ツール
・PaperPort™ インストールツール
・ソフトウェア更新通知 アップデートツール
・PCファクス受信アップデートツール
を適用することで、最小限の必須ツール類が最新状態になる。

※ルーターとプリンターの間のWi-Fi接続を解除していない限り、
上記の手順3のところで、Wi-Fiルーターにつながったプリンターを検知し、Wi-Fiでの接続を再開することができる可能性が高いです。
USBケーブルを挿す前に試してみてもよいかと。

※おそらく大元の原因は、Wi-Fiの電波の状態が変化して、
2.4GHz帯のつながり状態が悪化した影響と思われる。
ルーターを再起動させることで、周辺の2.4GHz帯の状態を見て、
少しでも状態のよいチャンネルを使うようになるので、回復が期待できます。

ドライバを入れ直す時はまずは現在インストールしているドライバをアンインストールしてプリンタの電源を切ります。USB接続の場合はUSBケーブルも抜きPCを再起動します。

https://support.brother.co.jp/j/b/downloadtop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6583cdw

からドライバをダウンロードしてセットアップを開始し画面の指示に従いプリンタの電源を入れてUSB接続の場合はUSBケーブルを繋いでドライバを再インストールしましょう。