Wi-Fiで印刷ができない

・プリンターの機種名
・お使いのWi-Fiルーターのメーカー名と機種名
・卓上パソコンの機種名（型番）
・新ノートパソコンの機種名（型番）
を補足してください。

基本、ルーターがあるのなら、
[PC]-(区間1)-[Wi-Fiルーター]-(区間2)-[プリンター]
のように、ルーターを介して接続するのがセオリーです。

このようにつなぐことで、
たとえばPCのところがスマホやタブレットになっても
つなぎ替えや再設定無く運用ができます。
区間1はPCやルーター次第では5GHz帯（802.11a/ac/ax）、
区間2はプリンターの機種次第ですがブラザー機は2.4GHz帯（または有線LAN）しかないはず。

>普段は卓上のパソコンが有線でプリンターと繋がっていますので、Wi-Fiを使用したい
パソコンは「卓上のパソコン」と、
「新しいノートパソコン」の2台あるのですかね？
また、「有線で」というのは「有線LAN」ということですかね？

であれば、下記のようなイメージで、
【パソコンやプリンターはそれぞれルーターと】つなぎます。
[インターネット側]
↑↓
[ルーター]
＋-(有線LAN)-[卓上のパソコン]
＋-(有線LAN/5GHzまたは2.4GHzの無線LAN)-[新しいノートパソコン]
＋-(有線LANまたは2.4GHzの無線LAN)-[ブラザーのプリンター]
＋-(5GHzまたは2.4GHzの無線LAN)-[スマホやタブレット]

ルーター配下については現状、質問者様の記述から、
[ルーター]
＋-(有線LAN)-[卓上のパソコン]
＋-(2.4GHzの無線LAN)-[新しいノートパソコン]
＋-(2.4GHzの無線LAN)-[ブラザーのプリンター]
こういう状態だと思われます。

まず、宅内の無線LAN安定のためには、
＋-(2.4GHzの無線LAN)-[新しいノートパソコン]
について、下記の通り5GHz帯のSSIDの方につなぐ事をお勧めします。
[ルーター]
＋-(有線LAN)-[卓上のパソコン]
＋-(5GHzの無線LAN)-[新しいノートパソコン]
＋-(2.4GHzの無線LAN)-[ブラザーのプリンター]

※ここ数年のルーターをお使いなら5GHz帯に対応しているはずです。
※2.4GHz帯は、周囲の電波影響を受けやすく、不安定になりやすいので、「できる限り5GHz帯を優先」し、「2.4GHz帯は、家電やゲーム機、プリンターなど、2.4GHz帯のみの対応の機器だけで使う」構成にすることをお勧めします。

この状態で、卓上のパソコンと、新ノートパソコンで、それぞれ、
OSに合致したブラザー製ドライバーを正しく入れ直す必要があります。

冒頭の確認事項が把握できたら、
1.ネットワークの再設定
2.両パソコンのドライバー削除
3.両パソコンへのドライバー入れ直し
の順番で作業をするための具体的な手順が記載できます。

https://support.brother.co.jp/j/b/faqend.aspx?prod=mfcj855dn&c=jp&lang=ja&faqid=faq00012601_002
プリンターの型式番号が記載されて居ません
「サポートダウンロード」で「別の製品を探しますか？」から貴方のプリンターをさがして下さい
パソコンにインストールしているドライバーはアンインストールして再起動後↑　やって下さい