無線LANでの接続について

まず
>softbank airを使用しております
とのことなので、
確認ですが、従来からSoftBankAirをおつかいでしたか？
他のルーターからの機種変更やファームウェア更新をされましたか？

現在のsoftbank airの「端末間通信設定」の確認をしてください。
https://www.softbank.jp/support/faq/view/19792

SoftBank系のルータはこれが既定値でオンになっています。
この設定がオンだと、SoftBankAirに繋いだ機器は、
WAN側（＝上流、インターネット側）との通信はできますが、
LAN側（＝SoftBankAir配下の機器同士の通信＝PCとプリンターの間）
は「遮断」されてしまいます。
それゆえ、
>プリンター本体ではネットワークを認識しているにも関わらず、パソコン上ではネットワークではプリンター本体を認識することができず
となり、ドライバーのインストーラーが、プリンターを見つけられないと考えられます。

まずはSoftBankAirの管理画面にて、
端末間通信設定の状態を確認し、解除してください。

突然プリント出力できなくなった時は、ルーターの電源差込を引き抜き３０秒以上放置後電源を入れて全てのランプが点灯→PCを ON、PCが立ち上がってからプリンターをONを試みる
PCが立ち上がる前にプリンターをONにした時なった様な記憶があります
PCのドライバーをアンインストールしてから↓
https://support.brother.com/g/s/id/wlan_guide/l2350/wlan_jp/pc/lan/index.html
※CD-ROMがない、または、使えない場合は、こちらからフルパッケージインストーラーをダウンロードしてください
↑ ここからダウンロードする

しばらく待っても同じでしたら、ルーターとパソコンとプリンターを再起動してみてください。