スキャナー使用にもインク補充は必要ですか？

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfc650cd
こちらですね。

本製品は、供給部品の保有期限が過ぎたため、修理対応を終了させていただきます。 なお、修理以外のお問合せについては、このままサポートを継続いたします。

となっているので修理が必要な場合は買い替えとなります。

同じ製品は所有していないので詳細はわからないです。
他の方が回答されていますが何度かインクカートリッジを取り付け直したりインクカートリッジにあるICチップがありますがそちらが接するプリンタ側の端子を綿棒などで掃除してみるとかでしょうか。

恐らくインクカートリッジがちゃんと認識した状態で無いと少なくともプリンタ本体の操作パネルからスキャンするような操作は出来ないかも知れません。
PCにドライバをインストールしてPCからスキャンする分には若しかしたらインクカートリッジがない状態でもスキャン出来る可能性はあるかも知れません。

同型の実機を持ち合わせていないため、検証はできませんが、インクが減るわけではないのでスキャンできるかどうか試されてみてはいかがでしょうか？
変わりますが、インク交換しても消えないとのことですので、以下試されてみてはいかがでしょうか？

1.インクカートリッジをすべて取り外す
2.プリンターの電源をオフしてコンセントも抜く
3.しばらく時間（5～10分）を置いたのち、電源を入れ、最初にブラックカートリッジをゆっくり、できるだけ平行に入れる
4.ブラック以外のインクをゆっくり、できるだけ平行に入れる（順不同）
5.プリンターがインクを認識

ICチップが搭載されたインクカートリッジでしたらこうすることによってプリンターの認識機能がリセットされ、ICチップが1つずつプリンターに読み込まれていくのでインクが認識される可能性が高くなります。これで解決しない場合は、ICチップの端子部分やプリンター側の接点部分を拭き取り、再度挑戦。それでも解決しないのであれば、インクのICチップ自体、もしくはプリンターのICチップ読み込み部分に不具合がある可能性があるので、カートリッジの交換もしくは修理ですかね…。

尚、復旧したにもかかわらず、パソコン側で交換してくださいの表示が出た場合はステータスモニターが誤作動を起こしている可能性がありますので、プリンタードライバーを入れ直すと改善するかもしれません。