生物系から化学系の院に進学することは可能でしょうか？

大学の教員ですが・・・一言。

大学の研究室の話をするときに

「～系の研究室」

この言葉を使って話してもナンセンスだと思います。

生物系と言っても、ある意味無限の広がりがありますし、
それに加えて化学系、有機化学系と言い出したら、もう・・・。

自分は何がやりたくて、何を勉強する必要があって、
どこに就職するために、何を勉強する必要があるのか。

～系って言ってたらダメですよ。

まずは、そこから。

＃２のお答えが適切だと思いますが、＃２の方はハンドルネームからして「有機触媒化学」専門なので、その黄金期はノーベル受賞者の根岸先生たちが活躍されていた頃つまりもう二十年以上前のことで、この分野はテーマがかなりむつかしいです。
一方あなたが「有機化学」と言ったときその内容は何でしょう。内部から大学院に進学なら有機化学の先生たちが何を専門にしていられるか分かるでしょうから、早めにしっかり調べ先輩の評判なども聞いておくと良いでしょう。
なお企業における「有機化学」もＩＴ時代の前と今ではかなり違うので、例えば富士フイルムなどはかなり苦労していますし、巨大印刷会社は液晶関連でバリバリやっています。
業界のことも知っておく方がいいのですがまだ無理でしょうね。

化学系とて、旧帝大などの一部を除き、就職にはそれ相応の苦労があります。頭が悪くてコミュニケーション能力のない人の就職が簡単に決まるほど甘いものではありません。それと、そもそも生物系学科卒業生が通用するほど有機化学は甘くありません。

まあ、最近の大学院は入りやすくなっているので、受験すれば合格する可能性はあります。しかし、進学の時点で他の院生とは埋めがたいほどの差があるでしょう。そういった状況で、頭が悪くてコミュニケーション能力のない人がまともに研究をして修了できる確率は高くないでしょう。「頭が悪くてコミュニケーション能力のない」というのが謙遜であり、それ相応に有能であり、努力もし、周囲の人に恵まれれば可能でしょうけどね。
いずれにせよマクマリーとかボルハルトショアーなどの２、３冊ものの分厚い有機化学の教科書でも読んでから考えればいいんじゃないですか。それが理解できないようなら話にならないのでやめておきなさい。それと現実には有機化学の研究室では実験のろくにできない人は全く通用しません。卒研生なら丁寧にし得てもらえても、修士の学生であればそこまではしてもらえるとは限りません。大学院は基本的な研究スキルを持っている人が進むところですからね。どうしてもというのであれば有機系の研究室で１年間研究生でもするのが良いかもしれません。

「就職がよさそうだから有機化学」じゃあ，つまんない人生ですね。そんな人が理学部にいるとは。

環境保全関係で職をみつけようという気はないのですか？　環境省とか日本生態系協会とか。あるいは，ずぶの民間ではＮＧＯとか。高校の生物の先生でもいいでしょう。