飲食店のメニュー表で使われている紙質について

紙については実物を見くらべてみないと何とも言えないでしょうね。
少部数でとのことでしたら、オンデマンド出力がよろしいでしょう。
製版フイルムなどが不要なので、総コストは低く抑えられます。
普通のオフセットなどにくらべたら写真出力で画質は劣るかもしれませんが、
インクジェットやトナーのプリンター出力に比べれば格段に上です。
また、紙もだいたいOKですので、お好みのモノを選べます。
http://www.lithmatic.net/
http://www.vanfu.co.jp/

東京都内であれば、リスマチックやバンフ―といった出力センターへ行けば、
店頭で用紙見本を見れますので、相談は可能でしょう。

地方でしたら、用紙見本を送ってくれるような出力センターを探した方がいいですね。

デザインは自前ということですが、当然、illustratorなどの専用ソフトで描かれるという
ことでしょうね？
Officeなんかだと、出力に際しイロイロお約束事をしないと、思ったものと違うものが出力されるので要注意です。

マット紙に印刷した上にラミネート加工がして有ります。
個人店などで制作する場合、
(1)A4の両面スーパーファイン用紙を使用。
参考ELECOMの厚手用紙を使用、家電量販店で販売しています。
(2)写真、レイアウトをしてプリンターで両面印刷。
◎旬のメニューが手軽に作れます。
(3)出来上がりを(パウチ)ラミネートで仕上ます。
◎ホームセンターで機械とラミネートを販売しています。
メニューブックなど買う必要はありません、オリジナルなメニューが出来ます。

スタバのメニューは最近見ていないのでわかんないけど
光沢がないものはマット紙ですね
ただしメニュなどは汚れにくいようにコート紙に印刷して表面加工でマットにしている場合もあります
一般的にコート紙に印刷したほうが写真はきれいになります
PPマット紙はコピー用（レーザープリンター）なので一般的に印刷屋では使用しません
少量だとオンデマンドになりますがラミネートやPP加工はしないのでしょうか