充電器 or　パソコン本体のバッテリー

>コネクターを抜いてまたつないだり充電器を上にあげたり動かしたら充電されるときもあります
この言葉からは、充電器ではなく、
本体のコネクタ部分の劣化の可能性はあります。
もし、そうなのであれば、充電器を買っても、解決せず
無駄金になる可能性は高いです。
充電器に問題があることはなくはないのですが、
質問の通りであれば、本体側の問題もあり得るので、
一応、回答しておきます。

PC本体に内蔵しているバッテリーの寿命だろうと思います。
次のように作業すると良いと思います。
1)PCの品番を調べて、この品番に合う内蔵バッテリーパックを
　購入します。
2)内蔵しているバッテリーパックを外します。
3)購入した内蔵バッテリーパックと交換します。
4)ACアダフターを接続して充電します。
5)充電完了後、PCを起動させます。

富士通の充電器、ケーブルは共通で使えるので、買った量販店などの展示品のケーブルを借りて試してみるといいかと。