Wi-Fiが届かないので、中継器を購入したい

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WRH-300WH-Hは家庭でも使えますが、本来はホテルやワンルームマンションでの一人用向けのレベルのものです。
無線LAN規格もIEEE802.11n, IEEE802.11g, IEEE802.11bで、2.4GHz帯域しか対応しておらず、通信速度も最大で300Mbpsと時代遅れの製品です。
リビングがあるような一般家庭で使用するには力不足です。

これに中継器を繋ぐよりは、11ac規格（Wi-Fi5）で5GHz帯域も使える最近のルーターを購入する方が効率的だと思いますよ。
エレコムであれば、以下のページに現在販売中のものが掲載されていますので、参照してみてください。
https://www2.elecom.co.jp/network/wireless-lan/router/?category=client-personal

この中では、Wi-Fi 5（11ac）対応の4機種が良いのではないかと思います。
WRC-2533GST2、WRC-2533GS2、WRC-1167GST2、WRC-1167GS2-Bあたりですね。
他社のルーターでも、同程度の製品が出ていますので、ネットで検索して、事前によく検討されるのが良いと思います。

e-Meshルーターはe-Mesh専用中継器と組み合わせてe-Meshネットワークを構築するためのものですし、Wi-Fi6対応のルーターは、規格上は通信速度は速いですが、接続する端末側も最新のWi-Fi6対応のものでなければWi-Fi6規格の機能は発揮できません。
また、Wi-Fi6ルーターは、新しく発売された製品が多いことから、まだまだ不安定要素が多く見受けられます。

今まで、2,4GHz帯域しか使えないWRH-300WH-Hで十分に対応できていたことを考えれば、中継器がなくてもWi-Fi5規格のルーターで十分対応可能かと思いますよ。