外付けSSD(1TB)に書き込みできなくなりました

> SSDが壊れたのでしょうか？購入後1週間です。
いろいろなことが考えられます。
> 予期できないエラーのためファイルがコピーできません
本当にこんなメッセージだったかです。
おそらく下記のどちらかかと思われます。
１.予期しないエラーにより、ファイルをコピーできません
2 .予期しないエラーのため、ファイルをコピーできません
この時のエラーコードも正しくメモして貰っておけば、正確な原因も調査できたかもしれません。
一般的なことを記載すれば、一番確率の高い原因は、下記の可能性はないかです。
購入後、どんなファイル形式のフォーマットをしましたか。
可能性の高いのは、正式フォーマットすれば、１TBの容量では時間がかかるのでクイックフォーマットで済ませていないかです。
クイックフォーマットであれば、物理欠損部分に当たれば、こうしたことは考えられます。
基本に戻って、正式フォーマットした後使用することをお勧めします。

PC内に保管してあるMP4の「動画ファイル」をクリックして
PCの画面にて正常に視聴できるかを確かめると良いでしょう。
「動画ファイル」が壊れている可能性も考えられますので、
確認する必要があります。

CrystalDiskInfoで診断してみて下さい。
https://pc-karuma.net/windows-crystaldiskinfo-hdd-ssd-diagnostic-app/
私の予測で言えば、保存しようとしたMP4のファイル自体が問題が有るのでは無いでしょうか？
他のファイルが保存できるか確認して下さい、ファイル自体に欠損やトラブルが有る場合保存できないことがあります。

その外付けSSDのフォーマットは、何になっているでしょうか?

1TBだと、「FAT32」である場合があります。
この「FAT32」フォーマットであると、1ファイル4GBを超えるファイルを書き込めません。
そのときに出たりするのが「予期しないエラー」です。

＞USBにデータをコピーしてる途中でエラーが出たらフォーマットの形式を変えよう | webまる
＞https://webmaru.blog/4782/

FAT32は、Windowsでもmac OS でも読み書きできる便利な形式(古い形式)なのですが、そのようにいくつかの制限があります。

各フォーマットの簡単なまとめ
＞ファイルシステム（FAT32、FAT16、NTFS、exFAT、HFS、HFS+、APFS）の違いについて | バッファロー
＞https://www.buffalo.jp/support/faq/detail/1079.html

Windowsでもmacでも使いたい場合には、「exFAT」でフォーマットしておくと、4GB超えファイルも書けるようになります。
ただしアクセス権設定が出来ないなど、OSのファイル保護機能は働きません。

Windows専用で使うなら NTFS、mac専用で使うなら HFS+ でフォーマットし直すと、どんな巨大ファイルも扱えるようになり、本体ストレージ同様に完全なファイルシステム保護機能を利用できるようになります。

フォーマットすると一旦SSD内のデータは全て無くなるので、データを退避してから、フォーマットし直してください。
まあ、4GB未満のファイルに限定して使うなら、FAT32のままでも良いですが。

購入後1週間で壊れることはありません。初期不良でしょう。