初期設定

iPhone未使用　スマホでネット利用しないので憶測になりますが

回線変更　ネットワーク変更による利用制限かも知れません
スマホ端末は同じだけど　回線が変わった事で認証したデバイスと認められない

アマゾンでデバイス追加できるように（メールで警告が届く場合が多いと思いますが）
https://www.amazon.co.jp/gp/help/customer/display.html?nodeId=200875610

YouTubeでも同じ仕組みが取り入れられているかも？

我が家はWi-Fi経由の２台のPCでアマゾンプライム利用ですが　同一回線だから？特に何もしなかったと記憶しています

「ほぼ見れない」とは、DLが遅くてスムーズに見れないということでしょうか？
iPhoneのみで起きているようですので、まずはiPhoneの再起動やアプリを削除して再インストール、または更新を試して改善するかですね・・・。

auひかりは専用ルータ込みの契約であり、そちらの方でIPv4・IPv6接続しています。
そのため、独自のWi-Fiルータを追加する場合は「アクセスポイントモード」に設定し、Wi-Fi機能のみ使うようにします。

一度WRC-X3200GST3-B の電源を切り、背面の動作モードスイッチを「AP」位置に変更しましょう。
それで電源を入れてWi-Fi接続して、どうでしょうか。