インターネットに接続できません。

＞WBC-1167GS2-B
・WRC-1167GS2-Bでしょうか？

＞Wi-Fiの電波は飛んでいるのですが、インターネットに接続できず、Safariを使用しても、ページを開けません。とずっと出てしまい、何も検索できない状態です。

・動作モードがルーターでElecom名のWi-Fiに接続したあとの話であれば、それはWi-Fiに接続をしただけです。ネットが見れるように管理画面で設定を行う必要があります。
※Elecom名のWi-Fiに接続したまま、safariを開いて「検索/webｻｲﾄ名に入力」に192.168.2.1を入力して、「ユーザー名」と「パスワード」を入力すると管理画面にアクセスできます。
・「WAN＆LAN」から「WAN」選択後、「WANアクセスタイプ」を自動判定かDHCPで選択をして設定すると繋がると思います。
※動作モードがAPのままでは管理画面にアクセスができません。ルーターに切替えて再起動をしてください。

詳しい設定方法はNo.4の回答者さんが教えてくれていますので、そちらを参考にしてくださいね。

＞以前はbuffalo社のものを使用していました。

・buffaloのルーターをAP(アクセスポイント)で設定していたら、ElecomのルーターもAPに変更すれば、Wi-Fiに接続したまま閲覧ができるようになると思います。
※ルーター背面の動作モードをAPに切替える。切替えた後はルーターの再起動が必要です。

LANケーブルで繋げられるPCとかゲーム機とかTVがあれば、壁と直結して利用できるかどうか確認するといいよ

壁と直結で利用できる場合はWBC-1167GS2-Bを アクセスポイント のスイッチに切り替えて再起動し改善するかになります

壁と直結で利用でない場合は、壁から先に問題があるかなんらかの設定が必要な可能性があるので、マンション側に確認して原因追及する必要があります

〇管理会社からRTかAP（アクセスポイント）モードで繋がるなどの案内はなかったでしょうか？

〇Wi-FiのON/OFFなどを試しても繋がらない場合、初期設定になるかと思いますので以下を試してみてください。

型番：WBC-1167GS2-B
操作端末：iPhone

①再起動後、elecom-XXXXXXを選択して「自動接続」にチェックを入れて「自動ログイン」のチェックを外してください。
チェックの入/切をしましたら「接続」を押してください。

②接続を確認しましたら、管理画面へアクセスするため「safari（方位磁石のﾏｰｸ）」を立ち上げていただき、画面上の「検索/Webサイト名入力」に「192.168.2.1」を入力してください。
※「検索/Webサイト名入力」が見つからない場合、画面の右下に「☐が２個重なったマーク」があると思うので押していただき、次に下の真ん中に「＋のマーク」が出てきたら押してください。

③「ユーザ－名/パスワ－ド」を尋ねられましたら「かんたんセットアップシート」の真ん中あたり記載の「ログインID（admin）/パスワード」を入力してください。

④「友だちWi－Fi」や「こどもネットタイマー」などカラフルな画面が出ましたら、黄緑色の「WAN＆LAN」を押してください。

⑤次の画面では「WAN」を押してください。

⑥次の画面では「WANアクセスタイプ」を「自動判定」から「DHCP」に切り変えてください。
⑦切り替えていただきましたら画面下のオレンジ色の[適用]を押してください。カウントダウンが終われば設定完了です。
※完了後にインターネットが見れない場合、何度か試してみてください。

上手くいかない場合、こちらをご参考ください。
文書番号：8380
Q．Wi-Fiルーターのお困りごと一覧
http://qa.elecom.co.jp/faq_detail.html?id=8380

＞マンションに住んでおり、モデムは必要なく直接繋げられるタイプです。
＞Wi-Fiの電波は飛んでいるのですが、インターネットに接続できず、Safariを使用しても、ページを開けません。
＞数日前からインターネットに接続できない状態になり、本日買い替えたばかりです。
＞以前はbuffalo社のものを使用していました。

以前使っていたBIFFALOのルーターでインターネットに接続できていたということでしょうから、WBC-1167GS2-Bも、BIFFALOのルーターと同じモード（アクセスポイントモード？）で設置すれば良いと思います。
交換ということですから、当然、同じモードで使われていると推察しますが、BUFFALOのルーターで不具合が出た時は、Wi-Fiの電波が飛ばなくなったのでしょうか？
あるいは、BUFFALOのルーターでもWBC-1167GS2-Bと同様にWi-Fiの電波は飛んでいて、端末（iPhone？）がWi-Fiには繋がる（扇形のマークはしっかり表示される）けれども、インターネットには接続できなかったのでしょうか？

もし、BUFFALOのルーターもWBC-1167GS2-Bと同じ状態だったのであれば、
ルーターを交換しても症状が改善しないということですから、不具合の原因はルーターではなく、それよりも上流（インターネット）側の機器なり設備なりかと思われます。
この場合は、マンションの入居者では何も出来ませんので、管理会社などに連絡して共用部分の設備や回線の状態などを調べてもらってください。

WBC-1167GS2-B
この機種が見つからないので一般論ですが...
ルーターモードとアクセスポイントモード、どちらかで試してください。
あなたのマンションのインターネットがどんな仕組みか判らないのでピンポイントの助言ができません。