EB-G5750WU HDMIが表示されなくなる

>責任の所在を明らかにしてほしいのでこちらに書き込みます。
いや、そりゃ無理でしょう。
ここはユーザーの互助であってEPSONのサポートが見る場所じゃないですから。

最近あまりエプソンのサポート経由でここに来た質問の内容がひどく、
ちょっとエプソンやOKWaveに対して提言めいたことを回答に添えて書くと、
OKWaveのバイト君がお決まりの文言をコピペしたメールがきて
回答が編集されており、正直辟易しているんですが、
上述のとおり、責任の明確化は確実に無理です。

エプソンのプロジェクターに関しての
コールセンターの「公式」な窓口は電話しかないので。
http://www.epson.jp/support/projector/info.htm

さて、表示されなくなるというのは、
・機器非接続時の状態になる（青バックの画面）
・投影中の画像が固まる（ハングアップ）
のどちらでしょう？

コンポジット接続などに変更して現象が出ないなら、
HDMI周りの処理でハングアップしているような現象ですね...
普通に考えて、切れ間無くHDMIで信号を入れ続けているにもかかわらず、
途中で切れるのであれば、
プロジェクター側に起因する可能性が
極めて高いと考えるのは自然かと思います。

なぜコールセンターがこちらに誘導するのか解せませんが、
少量販売品目ですので、コールセンターじゃなく、
販売代理店にクレーム入れるのも効果的で早いと思いますよ。
（有力な映像/音響系のインストーラさんなどであれば、なおさら）

直接的な回答じゃなく恐縮ですが....

実機(現品)を見ていませんので、確定的なことは言えませんが、
本機には「スリーブモード」があるようです。
「スリーブモード」を[off]に設定して映写状態を確認して下さい。
本機の取扱説明書または次のURLをクリックして参考にします。

[EBG5750WU/取扱説明書/EPSON]
http://dl.epson.jp/support/manual/data/elp/ebg5750wu/U_GUIDE_G5750WU.PDF
・57頁および58頁を参照します。
・リモコンのメニュー画面から[拡張設定]-->[動作設定]-->
[スリーブモード]と操作します。
・「スリーブモード」を[off]に設定します。