アプリ起動中に通信料金

活動量カテゴリということなので、
PULSENSE Viewが前提ということですよね。

このアプリは活動量計が取得したデータを、
スマホのBluetoothを通じてリアルタイム表示しつつ、
定期的にエプソンのクラウドにアップロードし、
蓄積されたデータをダウンロードして履歴表示をします。

したがって、Bluetoothを起動して活動量計と通信できている場合、
アプリの起動中は、適時アップロードするための通信が発生します。
このとき、WiFi接続がなく3G/4G/LTEのみであれば、パケットを消費します。

PS-100以外であれば、スマホに転送しなくてもある程度のデータはみられるので、
活動量計側でBluetoothをオフにし、
リアルタイムで見たければ活動量計側でデータを見て、
アップロード転送などの時にご自宅などWi-Fiがある中でBluetoothを有効にして
アプリを起動し、スマホ経由でアップロードする、という使い方をすることで、
不用意にパケットを消費しないようにできます。

＞アプリ起動中に通信料金は、かかるのですか?

「通信すれば、通信料金がかかる」という当然の話となります。
メールやSNSなどのアプリ、インターネット上のクラウドサービスを使うアプリは当然データ通信を使いますし、端末だけで動いているようなゲームアプリであっても、広告動画のダウンロードにはデータ通信が使用されたりします。

一切モバイルデータ通信させたくないのであれば、「機内モード」にしたうえでWi-Fiをオンにする、という手がありますが、これは電話も圏外扱いとなってかかってこなくなってしまいます。

＞かかるのでしたら、Wi-Fiのみの設定は、ありますか?

iPhone/iPadでは、設定→モバイルデータ、その画面の下方に「モバイルデータ通信」というカテゴリがあり、通信する可能性があるアプリがすべて出てきています。
ここでアプリ個別のスイッチを「オフ」にしておくと、そのアプリではモバイルデータ通信を使えなくなり、勝手に通信料がかかることを防げます。
でもまあ、必ず通信が必要なアプリでは、アプリの動作がエラーになったり、動いても不安定になったり、しますけどね。

Android機種でもOSバージョンによっては設定可能です。
設定→データ使用量→該当アプリをタップ、としたあたりに設定があったりするかもしれません。

アプリによっては、外部との接続をするものがありますが、通信を行えばパケット料金（容量）に反映（算定）されます。
意識して起動してなくても、バックグラウンドで通信を行うものもありますよ。
（通信量が多いアプリ・機能は？特定して通信制限を回避）
https://www.wifi-rental.com/media/service/00024/
（Androidスマホの通信量を節約する方法 Wi-Fiの有効活用、警告設定などでギガ不足解消）
https://time-space.kddi.com/mobile/20190212/2572
（Androidスマホの通信量節約術！ギガ不足を解消する20の方法）
https://mag.app-liv.jp/archive/83395/

　
起動中に通信しているアプリなら通信料金が発生します、通信しないアプリなら料金はかからない
スマホはWi-FiでつなげばWi-Fiが優先されます、しかしFi-Fi電波が弱い所に移動するとLTEに自動的に切り替わります。
どうしてもLTEを使いたくないなら機内モードにしてください。
　

掛かるものと掛からないものがあります。ローカルだけで動くゲームやテキストエディタなどは通信料は掛かりませんけど、今のアプリは多くが広告を表示しますからね。少なくともその「広告」のデータ分の通信料がかかります。

今のスマホは、OSが勝手に通信手段を選びますからね。アプリごとにWi-Fiを指定することはできません。Wi-Fi以外を繋げない指定にすることもできますが、そうすると、Wi-Fiのない所ではデータ通信が必須のアプリ（ポケモンGOとか）が動かなくなります。