会社都合で保険料軽減、引越したら引き継がれないの？

No.2・３・４です。
住民税の納税額の内訳、なんとなくわかりました。
２ヶ月しか勤めていないと仰られていましたが、恐らく２月末で退職されたのではないでしょうか。だとすると、12月の貰ったと思われるボーナスと12月～２月の給与が総収入になっていると思います。ここから健康保険代やら厚生年金やらが差っ引かれて所得に変わります。
所得が1,082,800円と仰れていますので、住民税所得割は12,800円になります（その他控除が無い場合）。これに住民税均等割を加算すると、18,300円になります。これが質問者様が本来納めるべき住民税です。これだと質問者様の手元にある納税額とは38,800円異なります。この38,800円は、質問者様が会社を辞めた以降の３月～５月まで納めなければならなかった住民税未納分だと思います。２月で辞めてしまった為に、普通徴収の４期の納付期限の１月を超えてしまっています。ですから、翌年度徴収に切り替えたのだと思います。
これが、今納めている住民税の内訳だと思います。
ところで、今年２月に確定申告はされましたか？昨年末に届いた確定申告用の国民健康保険納付状況・国民年金納付状況が手元に届いていたと思いますが、確定申告で上記２つは控除項目になります。所得金額と２つに控除項目だけあれば、ボーナス＋12月～２月の給与で納付した源泉徴収額が、全部手元に戻ってきていたかと思います。

No.２・３です。
>それと、前年は２か月しか働いておらず、収入もわずかですが、収入があったってだけで、金額とかちゃんと転入先の役場ではわかってるいるのか？と思ってしまいます。
質問者様の前年収入については、前居住地の役場が管理しています。たとえ２カ月であろうと、年末調整ないし確定申告もしくは勤めていた会社からの給与額から情報を得ています。現居住地の役場では、前居住地の役場に問い合わせる以外に所得情報を得る事はできません。でなければ、国民健康保険料（税）の納付額は計算できません。※後で詳しく説明します。
国民健康保険料（税）と書いているのは、国民健康保険料と記述している自治体もあれば、国民健康保険税と記述している自治体もあるので、敢えて料（税）と書きました。

>今更ですが、それも無職になってるのに１２０００円とか払っていて、そんなに払うものなのか？と思いながら払っていました。
今年納付している住民税は、前年納めなければならない住民税です。ただ、住民税は年末調整・確定申告後に決まるので前年に納める事ができません。よって、前年納めるべき住民税を今年納付することになるわけです。ですから、今年無職だからと言っても、本来は前年分なので納めなければなりません。
ところで疑問が一つあるのですが、12,000円の住民税と言うのは何期分の納付書でしょう？
仮に全期分と仰るのであれば、前年度の収入は少なくとも151万円あったと推測されます（控除抜きで）。２カ月の勤務で151万円となると相当なハードワークが想定されます。逆に、収入が給与でなく報酬みたいなもので得ていたと仰るのであれば、最低でも86万円（控除抜きで）となります。それでも、40万／月となります。この収入が正しいのか分りませんが、働いた月数に対して住民税が多すぎる様な気もします。年末調整ないし確定申告を間違って申告していないでしょうか？少し疑問に思いました。

>という事は、引越したのに、引越し元の住民税を払い続けないといけないのですか？？
そういう事です。
No.２でも回答しましたが、住民税は１月１日に居住していた自治体に納めます。よって、１月２日に引っ越ししたとしても、６月頃手元に届く前居住地の納付書は納めなければなりません。それを納めなければ、何れ督促・催告・利子上乗せの納付書が届き、それでも納付しなければ、財産差し押さえが執り行われます。
逆に１月２日以降に転入した自治体からは納付書は届きません。

>１９００円しか払っていなかったのが２万円の請求がきてると、私も言えば良かったのですが、軽減の届をだしてるのか？って役場の人は考えてもくれないのですかね？
現自治体の国民健康保険課が問い合わせたのは、前自治体の市民税課です。質問者様の所得について問い合わせたいわけですから、当然市民税課になります。質問者様は、前自治体の国民健康保険課に減免申告されたのですから、その情報は国民健康保険課しか持っていません。市民税課には減免の情報は伝わりませんから、そう言った手続きは出来ないのです。
よって、現自治体の国民健康保険課に対し改めて減免申請を行わなければなりません。
これを、順番に説明すると、、、
１．現自治体国民健康保険課が前自治体市民税課に前年所得を問い合わせ
２．所得が判れば、現自治体国民健康保険の納付額が確定する
３．確定された納付額を市民税課に報告
４．市民税課が納付書発行
５．質問者様の手元に届く
要するに、減免計算が必要なのは２だけで、市民税課は「結果」しか判らないわけです。ちなみに減免情報についても、一応個人情報になるので、その情報を国民健康保険課から外には持ち出せない事になります。これで納得できますでしょうか。
役所の仕事は縦割りなので融通が利かないと仰る方も大勢いますが、それぞれの課が独自の情報を持っている為、それを他の課に無断で公開する事もできません。質問者様の件の場合、まさに個人情報に当たってしまった為、納得のいかない結果になってしまったわけです。
とりあえず、役所と言うのはこういうものだ　と、判った分だけ勉強になったと思ってください（笑）

ちなみに、私は公務員ではありませんし、公務員をしたこともありません。

No.２です。
> それでは、前年度の収入も、引越し先でまた伝えないといけないのでしょうか？
そこまでは、質問者様の義務ではありません。転出先の自治体が転出元の自治体に問い合わせます。

余談ですが、
会社を辞めて国民年金に加入したと思いますが、転出先の役所にも年金窓口があるので、そこで住所変更を申請すればOKです。
会社を辞めた事で、住民税の納付方法が特別徴収から普通徴収に変わります。辞めた月なら最後の給与から差し引かれていると思いますが、翌月から来年５月迄の合計額が３・４期で納付するか、４期一括納付になるかもしれないので、給与明細の住民税欄の金額を見て未納分になる金額を予め覚えておくのも良いでしょう。納付書は、転出元の自治体から届きます。
※住民税は、１月１日に住民票があった自治体に納付します。納付書が届かないとなると未納扱いになり、知らずに放置すると利息・催告手数料・督促手数料等が上乗せされます。

国民健康保険については、市町村が管理しています。
よって、県外に引っ越せば国民健康保険は脱退。新しい居住地の市町村で改めて申請する必要があります。転出する際に脱退しているのですから、その時点で記録は終了です。脱退した後、就職して社会保険に入るかもしれませんし、転出先の居住地で国民健康保険に加入するなんて、質問者様以外に知らないですよね？逆に知ってたとしたら、個人情報を質問者様の承諾なしで伝える訳ですから、これまた問題です。
ですから、健康保険料金（または税）を減免みついても、転出先役場の国民健康保険窓口で減免申請する必要があります。

国民健康保険は市町村が運営しているので、それぞれの市町村で独立して管理されているので引き継がれません。