退職、引越後の随時期市民税について

2018年1月～12月の所得に基づいた住民税は、2019年1月1日現在で住民登録されている自治体に納付します。
就職中のときは、2019年6月～2020年5月の給与から毎月特別徴収（天引き）されます。
ところが、質問者さんの場合、2020年1月で退職されたことから、残りの分の天引きができなくなります。
通常は、1月から5月までの間に退職した時は、退職月の給与から残りの5月分までの天引き予定額が一括で天引きされるはずです。したがって、退職時の1月分給与から5か月分が天引きされたか、給与とは別に支払うように会社から言われていませんでしたか。
もし、残りの分を一括で天引きされていなければ、その自治体が未納であることに気づいて、あとから請求されることになります。それが4月になってからの納付書だと思われます。
退職時の給与明細書などをご確認ください。

住民税の仕組みを間違えて理解されています。

住民税の課税は、1月1日時点の住所地に対して、その年の12月までの分を払います
そして支払うのは、翌年です。

つまり、あなたが請求されているのは、2019年の1月から12月分までの請求となっているわけです。

会社に勤めている人なら、12分割して会社で源泉徴収をしてもらうこともできますが、あなたの前に住んでいた自治体に、あなたの転職後の会社の情報がないため、あなたに請求が行われた。という話なだけです。

2019年（4月から翌年3月）の間に払っているのは、2018年の所得に対する住民税です。

一年遅れでくるものなので、退職後も来るものなんです。

ですので、2019年の所得に対する住民税ですから、支払う義務があります。
ただ、あなたが直接支払えば、今年再就職先では住民税（去年の分で今年支払う分）の分は源泉徴収されない。となるだけです。

まぁ、源泉徴収されるか、自分で払うかというだけの違いで、治める義務はあるわけです。

　
住民税は1年半遅れです。
2018年1月～12月の収入を計算し、2019年6月～2020年5月の間に支払います。
2019年の収入に対する税金は2020年6月～2021年5月に支払います。
会社勤めなら給料で天引きされますが、1月に退職したので会社が天引きできない分の納付書が発行されたのです。
　
引っ越しにより支払いが免除になる事はありません。