筆まめ

>①必ず毎年更新しなければ筆まめを使用出来ないのでしょうか？
その様なことはありません」、私は一昨年までは 5年前の筆まめを利用していました
来年用の年賀状の住所録の印刷は 一昨年購入の筆まめを利用するつもりです。

但し
ある程度定期的に筆まめを最新版に更新しないと、最新版の Windows 上で正常に動作しない恐れがあります。
年賀所の挨拶面の図案ですが、最新版の筆まめには、来年度用の素材は沢山入っていますがそれ以降の素材の収録件数はごくわずかです、私は毎年書店の店頭に並んでいる年賀状用の素材集を購入しています（大きくイメージが印刷されているので、自分用・家族用のデザインが選びやすいです）、もしくはネット上に公開されている素材を入手する必要があります。

>②現在引き継いだPC内には以前までの住所録は存在していますが、
>筆まめのソフトは存在しておらず、筆まめを開けないようです。
>年賀状作成以外にも筆まめを使用したい場合はどのようにしたらよろしいでしょうか？
どのような目的でのご利用を考えておられるか判りませんが、「筆まめ」は住所録ソフトです、年賀状の印刷以外にも、封筒・タックシール・名刺 などの印刷も、基本的には「筆まめ」の住所録からの印刷が可能です(基本的には用紙の選択だけです)
。

前任者が使っていた筆まめが残っていないということは、前任者が個人購入したソフトだったのかもしれませんね。
前任者に確認し、必要なら筆まめを購入しましょう。残っている住所録はそのまま使えるはずです。