購入した製品の接続方法をご教授ください。

回答No.1・3の者です。

>何回も親機の暗号化キーを入力しましたが、次のステップに進みません。
>SSIDと暗号化キーの入力ミスはないと思います。

残念ですが、SSIDと暗号化キーが正しいとするなら先へ進めない理由が思い付きません。
エレコムのサポートに相談してください。

回答No.1の者です。

>LANカードの型番はSC-40NE「２」です。

2.4GHz帯専用の無線LANカードですね。WPS機能はなさそうです。

>中継器はELECOM　WTC-1167US－B　です。
>中継器とは接続できたのですが、親機の暗号キーを入力しても無反応です。

「中継器とは接続できた」というのは、SC-40NE「２」と中継器の間の接続ではなく、PCやスマートフォンと中継器の間の接続ができたという意味ですね。
「親機の暗号キーを入力しても無反応」というのは、リンク先のユーザーズマニュアル（PDFファイル）の21ページの[5]で親機の暗号化キーを入力したにもかかわらず[6]や[7]の状態に進まないということでしょうか。それとも他のところでつまづいているでしょうか。
https://www.elecom.co.jp/support/manual/network/wireless-lan/relay/wtc-1167us/WTC-1167US_manual_v01.pdf
最もあり得そうなのは、21ページの[4]で親機のSSIDを選び間違えたか、[5]で暗号化キーを入力し間違えたかだと思います。親機のSSIDと暗号化キーを再度確認の上やり直してみてください。

説明書に記載が無いとは不親切ですね。
中継器がWTC-1167USシリーズ ならば　
親機にWPS機能が無い場合の初期設定手順　がありました。
http://qa.elecom.co.jp/faq_detail.html?id=8005

PR-400NEには標準では無線LAN（Wi-Fi）機能が内蔵されていません。したがって、WPSボタンはありません。
https://web116.jp/shop/hikari_r/pr_400ne/pr_400ne_00.html

PR-400NEにオプションで無線LANカードをつけている（https://web116.jp/shop/hikari_r/pr_400ne/pr_400ne_04.html）、または外付けのWi-Fiルーターを使っているという場合は、その型番を補足に書いてください。
WPSを使わずに手動で接続する方法もあるはずですが、購入した中継器の型番も補足に書いてください。