連名の宛名が印刷できない

「筆まめ」の場合でしたら、次のように作業すると良いでしょう。
1)「カード」に宛先の氏名と、自宅住所を入力しますが、
　この入力する枠で下段のある「自宅住所」のタブがあります。
2)この「自宅住所」のタブから右へ3つ目に「連名・情報」のタブ
　がありますので、この「連名・情報」をクリックします。
3)この下の枠内にある左端の□をチェックして「レ」マークを付け
　ます。
4)「主」をクリックしますと灰色の小丸が青色も小丸に変わります。
5)「名前」の欄には主たる方の氏名の中の「名」を入力します。
6)「敬称」の欄には「様」や「さん」などを選択します。

7)次の欄の「名前」の欄には、連名者の「名」を入力します。
8)「敬称」の欄には「様」や「さん」などを選択します。
9)連名者の方が複数いる場合は7)～8)を繰り返します。
10)これらの操作の後、ハガキの「宛先面」を確認します。

ソースネクストが販売している住所録ソフトは 筆まめ・筆王・宛名職人 等があります
お使いのソフトは何でしょうか？

とりあえず一番ユーザーが多い 筆まめ の場合ですが
「連名・情報」のタブで印刷したい名前の所にチェックマークが入っていないと印刷されません。

連名の記入位置を確認してみてください。
あるいは、連名の記入の前に半角スペースを入れてみて下さい。

バージョン不明ですが　プレビュー表示はどうでしょう？

昨年は問題なかった　であればWindows Updateなどの影響でプログラムに不具合が出る可能性があるのでインストールし直してみて下さい

同様にプリンタードライバーにも異常が発生する可能性があるので新規インストールのやり直しを