筆まめVer25で郵便番号を印字しないようにしたい

＜対処方法1＞
カードに郵便番号を入力する際に「指定番号」が決められて
いる場合は「指定番号」をそのまま入力します。
印刷した際に自動的に「郵便番号のチェック」のメニュー
が表示されますが、「終了」をクリックして、印刷しますと
入力した郵便番号で印刷されます。

＜対処方法2＞
郵便番号の欄に何も入力せずに空欄のままにして置きます。
その直後に「郵便番号のチェック」のメニューが表示されま
すが、そのまま「終了」をクリックします。
印刷すると同じように「郵便番号のチェック」のメニュー
が表示されますので無視して印刷しますと郵便番号が空欄で
印刷されます。

郵便局が独自に指定した（正式名称は忘れましたが）大規模な事業所用に独自に割り当てた郵便番号ですね。
対処方法は 筆まめ Ver26 でのチェックですが方法は二通りあります

方法 １．
① 正しい住所を「住所１」に入力します、郵便番号は適当に入れてください
② 貼付図の黒丸で示した 〒⇔住所 ボタンを押します
③ 「郵便番号変換」窓が開きますので、その際上段中ほどの「住所⇒郵便」を押します
④ すると郵便番号が「住所１」に入力した、住所に即した郵便番号に変換されます
この場合は、「住所１」に入力された住所に即した郵便番号が選択・表示・印字されます

方法 ２
① とりあえずすべての住所録が作成されているとして
② 画面上部のツールバーから 「住所録（A)」→ 「郵便番号の(Z)」と進むと
「郵便番号のチェック」窓が開きます
③ 「郵便番号のチェック」窓には 事業所用の郵便番号が「住所１」に入力された住所と異なる住所録データが表示されます
④ 住所をクリックして貼付図のようにその行の背景を青くします
⑤ そこで赤丸で示した「確定」ボタンを押すと、その住所データに関しては、郵便番号が「住所１」に入力されたものとのチェックが行われなります。
⑥ 再度 上記 ② にチェックを実行しても郵便番号と住所が不一致であるとの警告は出なくなります。
この場合は 住所は通常の郵便ものに使用する正規の住所表記、郵便番号は大規模事業所に割り当てられた郵便番号が 選択・表示・印字されます。

どちらでも郵便局は困ることなく配達されます

よくはわかりませんが、
郵便番号の覧を
空白（入力無し）
にしてみたら？