こどもの口座のキャッシュカードをつくりたい

「今はこども名義のキャッシュカードはつくれません と断られました」
これは常陽銀行の窓口で相談していわれたということですか？

https://www.joyobank.co.jp/woman/column/201501_03.html
このページをみる限り「子供の口座開設は0歳から可能」「キャッシュカードを受け取る（口座開設完了）」とありますけどね～。
このページをみたといって、まずは電話で問い合わせされてみてはいかがでしょうか？

以下の部分ですかね。
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子供の同伴が必要な場合もあるので、口座開設の前に銀行に確認したほうが良いでしょう。

子供名義の口座開設に必要な書類は、以下の通りです。

子供の健康保険証
母子手帳
親権者法定代理人（父や母）の本人確認書類
銀行に届け出る印鑑
開設口座に入金する現金（0円～口座開設可能）
　親権者法定代理人の本人確認書類は、免許証やマイナンバーカードのように顔写真があれば1つで十分ですが、顔写真付きでない場合は2種類を組み合わせる必要があります。
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子供の銀行口座をつくったなら相続税の対象になるようです。詳しくは知りませんが
気をつけて

通帳、届出印、身分証明書を持参のうえ、常陽銀行の窓口に相談してください。