ゆうちょ銀行　払い戻し

＞親が私名義で貯金をゆうちょ銀行にしておりました。

今でも、親が子供名義の口座でお年玉などを預けていますよね。
脱税・節税目的で口座開設をしている場合も、多々ありますが・・・。

＞満期を超えたら払い戻しが出来なくなると聞いたのですが、実際はどうなのでしょうか？

満期になったから引き出しが出来ないという事は、ありません、

＞最後にお金を入れてから口座を10年ほどいじってないです。

日本では、１０年以上取引がない口座は「休眠口座扱い」となります。
持っているキャッシュカード・通帳・印鑑では、出金出来なくなります。
ですから、住所氏名が分かる身分証明書（運転免許証・国民背番号カードなど）を持って口座があるゆうちょ銀行窓口で手続きが必要。
手続きをすれば、普通に入出金が可能になります。

その可能性はあります
詳しくは
https://www.jp-bank.japanpost.jp/kaisetu/basicinfo/kat_bi_specialsystem.html

急いで1000円でも良いから入金か、引き出しをしてください
その上で銀行に移すかどうかを考えましょう

私なら良く使う銀行に預けます

お取引から10年以上、その後のお取引のない預金等（休眠預金等）は、民間公益活動に活用されますとなっていますが、払い戻しできなくなる事はありません。
普通に引き出しや解約の手続きすれば良いです。

https://www.fsa.go.jp/policy/kyuminyokin/kyuminyokin.html