欠円の計算で高さを求めたい

Question

欠円（割円）の計算で面積Ａと半径ｒが判っているのですが
それから高さＨを求める式があれば教えてください

Accepted Answer

回答(3)です。

後記のPerlスクリプト(力技)で、
半径r=10,面積=100→高さh=18.18652225
半径r=10,面積=300→高さh= 7.10505817
と求めることができました。

一発で求めるスマートな式もあるはずですが、私では力不足です。

------------------------------
use strict;
use warnings;
my $r   = 10;   # 円の半径
my $a_a = 100;  # 欠円の面積
my $pi = 3.141592653;
if($a_a <= 0 or $pi * $r**2 < $a_a){
  die"a_a range error
";
}elsif($a_a  < $pi * $r**2 / 2){
  my($h_min, $h_max) = (0, $r);
  my $h;
  while(1){
    $h = ($h_min + $h_max) / 2;
    # 円の面積
    my $a_1 = $pi * $r**2;
    # 扇形の面積
    my $a_2 = $a_1 * (2 * atan2(sqrt($r**2 - ($r - $h)**2), $r - $h)) / (2 * $pi);
    # 3角形の面積
    my $a_3 = sqrt($r**2 - ($r - $h)**2) * ($r - $h);
    # 欠円の面積
    my $a_4 = $a_2 - $a_3;
    if($a_a - 0.0000000001 <  $a_4 and  $a_4 < $a_a + 0.0000000001){
      last;
    }elsif($a_4 < $a_a){
      $h_min = $h;
    }else{
      $h_max = $h;
    }
    # print"h_temp = $h
";
  }
  print"h = $h
";
}else{
  my($h_min, $h_max) = ($r, $r * 2);
  my $h;
  while(1){
    $h = ($h_min + $h_max) / 2;
    # 円の面積
    my $a_1 = $pi * $r**2;
    # 扇形の面積
    my $a_2 = $a_1 * (2 * $pi - 2 * atan2(sqrt($r**2 - ($h - $r)**2), $h - $r)) / (2 * $pi);
    # 3角形の面積
    my $a_3 = sqrt($r**2 - ($h - $r)**2) * ($h - $r);
    # 欠円の面積
    my $a_4 = $a_2 + $a_3;
    if($a_a - 0.0000000001 <  $a_4 and  $a_4 < $a_a + 0.0000000001){
      last;
    }elsif($a_4 < $a_a){
      $h_min = $h;
    }else{
      $h_max = $h;
    }
    # print"h_temp = $h
";
  }
  print"h = $h
";
}
------------------------------

訂正です。
(誤)------
半径r=10,面積=100→高さh=18.18652225
半径r=10,面積=300→高さh= 7.10505817
----------
(正)------
半径r=10,面積=100→高さh= 7.10505817
半径r=10,面積=300→高さh=18.18652225
----------

Excelのソルバーを自前でやるようなものです。
ソルバーだと収束しないことがありますが、上記ですと確実に追い込めれます。

Answer

お恥ずかしい話ですが、今回は確認をしておきました。
赤面の至りですが、兼好法師によれば恥をかいて上達するものだそうです。

公式Ａ＝（1/2）{ｒL-C(ｒ-H）}
を角度をラジアンで表しΦ、半径をＲとすると
Ａ＝{（Ｒ＾２）/２}*(ΦーsinΦ）つまり
（２Ａ/Ｒ＾２）＝ΦーsinΦ

ここで、
　cos(Φ/2)＝１－Ｈ/Ｒ です。
アーク・コサイン　ＡＣＯＳという関数をつかうと
　　　Φ/２＝ＡＣＯＳ（１－Ｈ/Ｒ）
      Φ＝２＊ＡＣＯＳ（１－Ｈ/Ｒ）

なので
　2Ａ/(R^2）＝　{2＊ACOS(1-H/R)}－sin{2＊ACOS(1-H/R)

これは、エクセルで計算できます。計算法は
(A,1)：2A/(R^2),(A,2):計算用の数値
(B,1): H, (B,2):計算用のHの数値
(C,1): R, (C,2):計算用のRの数値
(D,1): 1-H/R, (D,2): =1-(B,2)/(C,2)
(E,1): 2＊ACOS(1-H/R)}, (E,2): =2*ACOS(D,2)
(F,1): sin{2＊ACOS(1-H/R), (F,1): =sin(E,2)
(G,1): {2＊ACOS(1-H/R)}-sin{2＊ACOS(1-H/R), (G,2): =(E,2)-(F,2)

ACOS　アークコサインはエクセルの中にあります。
適当なHを与えて、計算された(G,2)と(A,2)を比較して
その差が十分小さくなれば計算終了です。

念のために、
Ｈ＝10，Ｒ＝10
Ｈ＝0，Ｒ＝10を計算して確認しております。
さらに、Ａ＝100，Ｒ＝10のとき、Ｈ＝7.10506
を確認しております。R>Hなので矛盾はありません。

Ａ＝300、Ｒ＝10としますと、元の円の面積はπR^2=314
で半円の面積は157です。
半円より大きな欠円にも当てはまる式かどうかの確認
ができていません。

どうやら間違ったことを以前に書いたので、気になって仕方が
ありませんでした。お詫びして訂正します。

Answer

面積（Ａ）は公式よりＡ＝（1/2）{ｒL-C(ｒ-H）}
L（扇部分の円弧の長さ）＝（ｒθπ）/180
C（円と直線が交わったところの長さ）
θ（扇形の角度）
*************************************************
ご質問内容が分かったので計算してみました。
面倒なので角度をラジアンで表し、Φ＝θπ/180 とすると、

その結果、Ａ＝（1/2）[(ｒ^2)Φ-2{sin-(C/2r)}(ｒ-H）]・・(1)
   ただし、sin-(C/2r)はアーク・サインと読みますが
　　sinΦ＝(C/2r)を満たす角度で、電卓で計算できます。

問題は、（１）式をご覧になればわかるように、
半径ｒ、高さＨ、がわかっただけでは面積Ａが決まらないことです。

逆に言えば、面積Ａと半径ｒの二つから、高さＨは決まりません。
・・・・決める式は存在しません。

もうひとつの情報、
角度θ（Φ）とか、弦の長さＣとか、弧の長さＬ、とか
がないと欠円の寸法が決まりません。

Answer

>欠円（割円）の計算で面積Ａと半径ｒが判っているのですが
>それから高さＨを求める式があれば教えてください

下図で考えれば良いのでしょうか？
-----
http://www.jpdo.net/link/1/img/16871.jpg
-----

Answer

高さＨを求めたいとのことですが、平面図形についてのお問い合わせでしょうか。
あるいは、＃１さんご回答のように立体を想定なさっているのですか？

欠円の弦と弧の長さ、面積の関係などについては、ざっくり検索したところ
以下のような情報が引っかかりました。これらは、平面図形の場合です。

http://qanda.rakuten.ne.jp/qa2156315.html
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1041452565

Answer

欠円というのがよく分からないのですが、半径ｒの円から
扇形をのぞいたものですか？
これから作った三角錐の高さＨを求めればよいのですか？

それなら扇形の角度をθ（ラジアン）とすれば、
円の面積πｒ＾２　から扇形の面積（πｒ＾２）（θ/２π）を引く。

そうするとＡ＝πｒ＾２－（πｒ＾２）（θ/２π）
　　　　　　＝πｒ＾２ {（２π－θ）/２π}
　　　　　　＝ｒ＾２ {（２π－θ）/２}

Ａとｒは分かっているので、θ＝２πー２Ａ/（ｒ＾２）

三角錐の底面は円ですが、この円の周囲Ｌは元の円の周囲から扇形
の弧の部分を除いたものですから、
Ｌ＝２πｒ－ｒθ＝ｒ（２π－θ）
これから、この円の半径をＲとすると
　　Ｌ＝２πＲ
　　Ｒ＝Ｌ/（２π）＝ｒ{（２πーθ）/（２π）}

三角錐を真横から見れば、高さＨ、底辺Ｒ、斜辺ｒの直角三角形。

従って、ｒ＾２＝Ｒ＾２＋Ｈ＾２

Ｈ＾２＝ｒ＾２－Ｒ＾２
　　　　　＝ｒ＾２　[１－{（２πーθ）/（２π）}＾２　]

Ｈ＝　ｒ　√ [１－{（２πーθ）/（２π）}＾２　]

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