Windows10 IE11でYahoo!japanにログインしたままにチエックを入れてもブラウザ終了するとログアウトしてしまうのはなぜ？

必ずログアウトしてしまうのでしょうか？
たまになら、
「Yahoo!メールやヤフオク!などのサービスをご利用中に、すでにログインしているにもかかわらず、パスワードの再確認を求められる場合があります。
Yahoo! JAPANでは、ほかの人があなたになりすましてサービスを悪用することを防ぐために、ログイン後に一定の時間が経過すると、パスワードの再入力を求める仕組みを採用しています。」
に該当するかもしれません。
http://www.yahoo-help.jp/app/answers/detail/p/544/a_id/42014

ちなみにログイン状態を継続できるのは最大4週間で、それを過ぎると
自動的にログアウトされる仕組みになっているようです。

A.No1です。

補足ですが、ブラウザがIE11として、インターネットオプションの「全般」タブにある「終了時に閲覧履歴を削除する」にチェックが入っていないですか？
上の場合「クッキーとwebサイトデータ」にチェック入れで削除されます。
http://ebid-portal.kumamoto-idc.pref.kumamoto.jp/cache_clear_ie.html#ie11

そうなると、パスワードの保存を有効にしていて、ブラウザに保存していても、ログアウトします。
http://pasofaq.jp/program/internetexplorer/savepassword.htm

IE11でツール➡閲覧履歴の削除をクリックすると
設定用のテロップが出てきますので、そこの中で
▢フォームデータ(F)、▢パスワード(P)、
▢追跡防止、ActiveXフィルターおよびトラッキング拒否データ(K)の
左端にあるチェックボッックスにチェックが入っているのなら
そのチェックを外してから、下にある削除のスイッチをクリックして下さい。
そうすれば仮にログアウトしても、パスワードが予め設定された状態の
ログイン画面が出るはずですので、そこのログインスイッチをクリックすれば、
ログイン状態で閲覧可能なはずです。

それでもダメなら、下記URLに問い合わせして見て下さい。

http://www.yahoo-help.jp/app/home/p/544/

ブラウザ終了時に、cookieを削除する設定になっていないですか？
cookieを保持していないと、次回、ログアウト状態になりますよ。