メールを開けるとエラーメッセージが表示される理由と解決方法

Outlook に追加したGmailのアカウントでメールを送受信できない場合
以下のURLにGmailのアカウントでログインする→「安全性の低いアプリの許可: 無効」を「安全性の低いアプリの許可: 有効」にする。
https://myaccount.google.com/lesssecureapps

対処方法の探し方ですが、
そのような一般的な質問の答えはエラーコードで検索すると見つかります。
OKWAVEのホームページにある検索ボックスからエラーコードで探した場合：

https://okwave.jp/searchkeyword?word=0x80040900
https://okwave.jp/searchkeyword?word=0x800ccc0E

A.No2です。

補足ですが、YahoBBとGmailのアカウントをOutlook(バージョン不明）に設定されていて、起動時にいずれのアカウントでも書かれたようなエラーが出るということですか？

また、以前はよくて、急にそうなったのであれば、セキュリティソフトの更新などfirewall関係で、Outlookからサーバーへの接続（通信）をブロックしているようにも思えますが。

エラーの番号からすると、メールサーバーとの接続がうまくできていないものと思われます。
（例：エラー0x800ccc0eが表示されメールの送受信ができません。）
http://faq.plala.or.jp/faq/show/3540?category_id=121
（入力されたサーバー名はネットワーク上に見つかりません。（エラー番号：0x80040900：Outlook 2013 - Windows）
https://support.ntt.com/ocn/support/pid2990024501

メールの設定に誤りがある、セキュリティソフトの影響を受けている可能性がある、メールの設定が破損しているなどの理由が考えられます。

で、YahooBBのアカウント設定でしたら、一旦、Outlook(バージョン不明）の設定アカウントを削除し、次を参考にアカウント設定を追加してみてください。
YahooBBのアドレスの場合は、その関係項目を参照です。
（Outlook 2013でYahoo!メールを送受信するには ）
https://www.yahoo-help.jp/app/answers/detail/p/622/a_id/82039/~/outlook-2013%E3%81%A7yahoo%21%E3%83%A1%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%82%92%E9%80%81%E5%8F%97%E4%BF%A1%E3%81%99%E3%82%8B%E3%81%AB%E3%81%AF

メールの受信処理に時間がかかっていたり、処理が間に合わない場合に発生します。outlookを再起動して直れば、特に何もする必要はありません。いつも必ずこのようになる場合は、迷惑メールを防止するため、一定の規則によりメールの配信を停止している可能性やメーラーの設定が間違っている場合があります。具体的な修正方法についてはお使いのメールやメーラー設定により異なります。できれば、メール送信と受信のテストを行って原因を探ることをお勧めします。
以下参考：
例えばOutlook2013でinfoseekのメールアカウントを使う場合は、標準的な設定では送受信がうまくいきません。正常な送受信を行うためには、以下のようにかなり面倒な設定が必要です。
***Outlook2013でinfoseekのメールアカウントを使う方法***
1.Outlook 2013を起動したら、「ファイル」タブをクリック。
2.「情報」から「アカウントの追加」をクリックし、「自動アカウントセットアップ」画面を表示。
3.「自分で電子メールやその他のサービスを使うための設定をする（手動設定）」にチェック入れ、[次へ]ボタンをクリックし、「サービスの選択」画面を表示。
4.「POPまたはIMAP」にチェックを入れ、[次へ]ボタンをクリック。
5.「POPとIMAPのアカウント設定」が表示されたら、以下のように設定。
【ユーザー情報】
　名前 ：山田太郎(infoseek)
　電子メール アドレス ：yanadata***@infoseek.jp
【サーバー情報】
　アカウントの種類 ：POP3
　受信メール サーバー ：pop-mail.outlook.com
　送信メール サーバー (SMTP) ：smtp-mail.outlook.com
【メール サーバーへのログオン情報】
　アカウント名 ：yanadata***@infoseek.jp
　パスワード ：********
　パスワードを保存する ：チェックする
　メールサーバーがセキュリティで保護されたパスワード認証 (SPA) に対応している場合には、チェックボックスをオンにしてください：チェックなし
　アカウント設定のテスト[次へ]をクリックしたらアカウント設定を自動的にテストする　　　　　　　　　　　　　　　　　　：チェックなし
　以上を設定したら、画面右下の[詳細設定]ボタンをクリックして、「インターネット電子メール設定」の画面を表示。
6.「送信サーバー」タブをクリックし、以下のように設定。
　送信サーバー (SMTP) は認証が必要 ：チェックする
　次のアカウントとパスワードでログオンする ：チェックする
　アカウント名 ：yanadata***@infoseek.jp
　パスワード ：********
　パスワードを保存する ：チェックする
　セキュリティで保護されたパスワード認証(SPA)に対応 ：チェックなし

7.「詳細設定」タブをクリックし、以下のように設定。

【サーバーのポート番号】
　受信サーバー（POP3） ：995（初期値の110を変更する）
　このサーバーは暗号化された接続(SSL)が必要 ：チェックする
　送信サーバー（SMTP） ：587（初期値の25を変更する）
　使用する暗号化接続の種類 ：TLS
【サーバーのタイムアウト】
　スライドバーを[短い]側にスライドさせて、サーバーのタイムアウト時間を、30秒に設定し、[OK]ボタンをクリック。
　注意：サーバーのタイムアウト時間を、10秒に設定するとエラーになることがあるので必ず30秒以上にすること。
8.「POPとIMAPのアカウント設定」の画面に戻ったら、[次へ]ボタンをクリックして、30秒間ほど待つ。
9.「すべて完了しました」の画面が表示されたら、[完了]ボタンをクリック。