プロダクトキーの取得方法とは？

http://121ware.com/psp/PA121/NECS_SUPPORT_SITE/CRM/s/WEBLIB_NECS_PRO.PRODUCT_ID.FieldFormula.IScript_Product_Spec_Details?prodId=PC-LL750DS6B
このあたりのPCでしょうか。他の方が回答されていいますがプロダクトキーについてはPC底面に貼られたシールに記載があったとは思います。
ただしそのプロダクトキーは実質使えません。
https://www.microsoft.com/ja-jp/software-download/windows7
からのダウンロードにも使えませんしそのキーを入力してWin7をクリーンインストールしてもライセンス認証は通らないです。

お使いのPCだと

Windows 7で再セットアップディスクを作成する方法
http://121ware.com/qasearch/1007/app/servlet/qadoc?QID=011298
予めPC購入直後に自身で作成しておいた再セットアップディスクから再セットアップすればHDDを交換した場合でも利用することは出来ます。
https://biz.ssnet.co.jp/nx-media/products/list?name=PC-LL750DS6B&seizouBangou=
のように有償で購入することも出来ます。
ただHDDを換装する場合は
http://nec-lavie.jp/navigate/products/pc/111q/02/lavie/lvl/spec/pc-ll750ds6b.html
仕様を見ると「Windows® 7 Home Premium 64ビット正規版」となっておりSP1が統合されたタイプでは無いため交換するHDD/SSDがAFTのタイプのものだと再セットアップディスクからの再セットアップに失敗する可能性があります。AFTではないタイプのHDDを探さないとダメかも。ただし今販売されているHDDはほぼすべてに近い位AFTのタイプで非AFTのタイプを探すのは大変です。

Windowsの話かOfficeの話かわからないので、両方ご説明します。

メーカーPCのWindows7は、メーカーからのみ提供されます。本来裏にプロダクトキーシールが貼ってある場合もありますが、Microsoftからのダウンロードはできません。この場合、メーカーからリカバリディスクを購入するか、製品版のWindowsを購入する必要があります。

Windows10にアップグレードしている場合は、プロダクトキーは不要です。Microsoftのメディア作成ツールからISOをダウンロードしてDVDを焼いて起動メディアを作り（起動USBも作れたかも）、そちらから起動してセットアップすれば、使えるようになります。ただこの方法は、メーカー/機種ごとのドライバ環境を含まないため、インストール直後はLANなどが使えないケースがあります。ドライバが一般配布されていないデバイスは使えなくなります。

Office2010については、PC本体にシュリンクされたOffice2010のインストールメディアが添付されており、その中のDVDケースに書かれています。紛失した場合、プロダクトIDがわかれば、一度だけMicrosoftがプロダクトキーを再発行してくれますので、そちらに照会してください。NECではOfficeのサポートはしません。下記サイトが参考になります。
https://hibi-life.com/microsoft-office-2010-productkey/#i-4

もしこのPCがWindows7の状態のままなら、サポートも終了して徐々にセキュリティ的に危険な状態になっていきますので（世の中から見捨てられてしまうので）、買い替え時な気はします。Windows10に無料アップグレード済なら、SSDに換装すれば、電池や液晶の寿命が来るまでは快適に使えるでしょう。

Windowsのプロダクツキーは本体に貼ってありますが、Officeは紙を探さないと無理です（再発行もされません）
どうしてもわからないのであれば、HDDが大丈夫なうちにクローンコピーして下さい、尚Win10にする場合はビデオドライバーは消去して下さい（Win10用のHD3000のドライバーは存在しないのでMicrosoft標準ドライバーを使うしかありません）古いドラーバーを使用するとブルースクリーンなど不具合が出ます。

メーカー製PCの場合、リカバリディスクにデバイスドライバも含まれていますが、ピュアなWindowsインストールメディアの場合は入っていません。それでインストールしてもドライバがないので動かないでしょう。やはりリカバリディスクを探すべきです。

>リカバリーディスクがなく、ダウンロードでやりたいのですが、
この当時のパソコンは、リカバリーディスクは添付されていません。再セットアップディスク作成ツールで、リカバリディスクを作成します。
プロダクトキーと仰るのなら、パソコン背面のシールにプロダクトキーが記載されていますが、Windows7インストールディスクがなければ、このプロダクトキーは使えないと思います。Windows10アップグレードを一度でもこなしているのであれば、プロダクトキーは必要ありませんので、そのままWindows10をクリーンインストールしてください。