セットアップユーティリティに進めない | Lavie L5150LS6B | Windows8

#5の回答の冒頭で、「PCI Express本体」云々とあるのはミスタイプで、「PC本体」が正しい内容です。

さて、ご質問の件ですが、リチウム電池はPCが起動している間は本体電源が供給されているので、一旦日付等を設定すれば狂うことはありません。
問題は、シャットダウン後に電力が切れるのでバッテリーが使われるという手順になるからです。
＞　見る限り狂っていなくてもこの電池がなくなってる可能性はあるのでしょうか。
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可能性はあります。
セットアップユーティリティから日付などの変更を行った後に、その設定を再保存しているかどうかによるのです。
BIOS設定から抜け出る際に、変更を保存して終了、または変更を保存せず終了、その他の抜け出し方がありますが、「変更を保存して終了」しないと元の木阿弥状態になりますから、同じ事を繰り返す状況が生じます。
今回の繰り返しが何によるものか、まだはっきりしませんが、少なくとも久しぶりに起動したら・・・という状況を考えると、リチウム電池の交換はまずやるべき事項と考えます。

＞　どこかの設定がおかしいからなのでしょうか。。
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これは、電池交換後に考えることですね。

BIOSデータ保持用の電池は、PCI Express本体のマザーボードか、マザーボードに取り付けられた2ピンのコネクターに繋ぐような小さいものです。
ボタン型のリチウム電池は、寿命が5年前後と長いため、一般ユーザーが常時交換するような仕組みでは取り付けられていないのが普通です。
PCによっては、底面にあるメモリーカードの取り付け位置付近に装備してあるものもありますが、裏蓋を外さないと交換できないものもあります。
この電池の用途ですが、BIOS（バイオス）と呼ばれるPC起動時の基本情報が納められた半導体の情報を常時電池で保持しておくためのものです。
この電池がなくなると、日付が狂うので分かりやすいですが、たちまち起動しにくかったりしますので、知らない方は慌ててしまいます。

電池の形状は参照URLでご確認ください。
ノートPCの場合は、2ピンコネクターのついたものが多いように思いますが、お近くに詳しい方が居られたら尋ねるか、PCデポやパソコン工房などでお願いすることも出来ます。
アマゾン　↓
https://www.amazon.co.jp/s?k=Lavie+cmos+%E9%9B%BB%E6%B1%A0&__mk_ja_JP=%E3%82%AB%E3%82%BF%E3%82%AB%E3%83%8A&ref=nb_sb_noss

#3です。
PCに内蔵しているデータ保持用のバッテリーは、殆ど（全て？）「CR2032」という型番です。
PCによっては割と交換しやすい場所にある場合もありますが、バッテリーだけではなくバッテリーからリード線が出ているようなケースでは、単なる交換作業というわけには行きません。
取説にバッテリーの交換について記述があるはずなので、ご確認ください。

気になっている「データの初期化」ですが、＃1さんの補足に『HDDリカバリーを選択しても画面が切り替わらずセットアップユーティリティの画面のままでした。やはり駄目なのですかね。』と書かれていますね。
どうも実行できなかったみたいですから、システムリカバリーはされて居なさそうです。データは大丈夫と思います。

久しぶりにPCを起動したら「セットアップユーティリティという画面が表示」される場合、かなりの確率でBIOSのデータ保持用の（内蔵の）リチウムバッテリーが消耗したというケースが多いようです。
購入からの期間をみても、当然切れそうな期間ですから、まずはこれの交換をしましょう。
ご自分で出来ない場合は、PCデポとかパソコン工房などのショップを探してお願いしてみましょう。（メーカーに出すほどではない）

BIOSの初期化とのお答えを拝見しましたが、あくまでもBIOSの初期化のことを言っており、システムの初期化（ハードディスク内の初期化）とは全く異なりますのでお気をつけ下さい。全データが飛んでしまいますよ。

>ちなみにデータを吸い出すには他のPCが無ければ駄目でしょうか。。
厳しいですね。スマホに繋いでって手もありますがスマホがNTFSでフォーマットされたHDD自体を読めないですから。読めるようなアプリを入れればデータが読める可能性はありますが。

あとは予めUSBメモリやDVD-Rなどの再セットアップメディアを作成している状態なら今の内蔵HDDを外して別のHDDやSSDを購入して来てそちらと交換して購入してきたHDD/SSDに対して再セットアップを行いWindowsが起動できるか確かめます。起動出来たら
https://www.sanwa.co.jp/product/syohin.asp?code=USB-CVIDE3
ほんの一例ですが上記のような製品が他のメーカーからも幾つか出ているので購入してそこに取り外した内蔵HDDを取り付けてデータを吸い出すような事は可能ですが…