パソコンの起動が遅くてExcelやWordが開けない問題について詳しく教えてください

大概HDの寿命でしょう。

HDDの速度的な問題があるかと思います。SSDに換装するにも付け替え前提条件に設計されているとは限りません。それにOSからやり直しの場合があり、質問者さんの知識レベルも文面からは読み取れません。
…なので、失敗しない為にはよく調べて買い物をされることだと思います。最近のは価格も落ち着いたSSDが流行りですし、メモリも8GBは積んでいます。CPUもIntelコアi5くらいは積んでます。数字がモノを言うかは使用者によりますが、、最低限の環境は必要です。自分自身の環境が大丈夫だから、では同一視できないパソコンには通用しませんし、、。

勝手から1～2年で真新しいパソコンを買い換えるのは気が退けます。

この手の話しは手探りよりは、前知識です。

ちなみに、設定やアップデートの確認はどの程度済まされてますか？

PCの型式を書いてださい、PCの性能が解りません。
例えば2012年製造の、HPのProbook4430S　CPU交換Core i7　2670QM、RAM8GB、SSD512GB　でEXCEL2007の起動時間は0.5秒です。
　2013年製造　富士通のCELSIUS-H720　Core i7 3820MQ　RAM32GB　SSD512GB　でEXCEL2016で1.5秒
10分となると、メモリが極端に少ないとか、HDDが壊れる寸前、もしくはウイルスがうじゃうじゃ動いている位しか思いつきません。

もしかしたら、
パソコンの買い替えまで
しないといけないかも。

早くするには
・パソコンのメモリ増設
・ハードディスクから
SSDへの入れ替え
(ただし、データなどの
待避はしないといけません。)

わからなければ
修理出来る電気屋さんで
相談しましょう。

まずはお使いのPCの正確な型番を書きましょう。
PC本体の底面や背面に貼られたシールに記載があります。
型番からPCの仕様・スペックを調べることが出来ます。

Windowsが入った起動ディスクがHDDの場合はWindowsの起動は使用しているとどうしても遅くなります。これについてはHDDをSSDに換装すれば改善は見込めるとは思います。
ExcelやWordを起動・開くのに10分以上と言うのはおかしいですね。
PCのメモリ搭載量が少なく仮想メモリにHDDが使われている状態だとそのくらいかかる場合は考えられます。