PC立ち上げで問題発生？NECノートPCの再起動トラブルについて

BIOSを初期化する（パソコン購入時の状態に戻す）方法
http://121ware.com/qasearch/1007/app/servlet/qadoc?QID=006918&p=9
電源を入れた後、F2キーを連打して「BIOSセットアップユーティリティ」の画面は出ないのでしょうか。

Windows 7でハードディスク領域を使用してパソコンの再セットアップを行う方法
http://121ware.com/qasearch/1007/app/servlet/qadoc?QID=012914
Windows 7で再セットアップディスクを使用してパソコンの再セットアップを行う方法
http://121ware.com/qasearch/1007/app/servlet/qadoc?QID=017253
試せそうなのは上記ぐらいで。

>故障修理依頼
ですが

修理対応期間について
http://121ware.com/navigate/support/repair/partslimit/
を見るとわかりますがお使いのPCは既に修理対応期間が終了しています。ですのでメーカーによる修理は不可なので注意を。

ところBIOSは動いたのでしょうか？
BIOSのセットアップメニューで再起動になるなら。BIOSが壊れたと考えられますが、BIOSのアップデートを行ったのでは無いでしょうか（BIOSのアップデートしない限り壊れる可能性は極端に低いので）
仮にBIOSのアップデート時に強制終了や電源を落とした場合、そのような症状になる場合も考えられます。
修理内容は一般的にマザーボード交換ですが、SundayBridgeのCPUですから、ほぼ交換部品がありません、交換できたとしても５万以上の費用が予想されます。

http://121ware.com/psp/PA121/NECS_SUPPORT_SITE/CRM/s/WEBLIB_NECS_PRO.PRODUCT_ID.FieldFormula.IScript_Product_Spec_Details?prodId=PC-LL750ES3ER
こちらのPCですか。プリインストールOSはWin7ですね。Win10へアップグレードされたのでしょうか。

Windows 10 - インストール メディアから回復環境を起動する方法
https://answers.microsoft.com/ja-jp/windows/forum/all/windows-10/ceda35e1-3972-4f27-ae14-12e39196f721
Win10のインストールメディアや回復ドライブ（USBメモリ）を作成しているならそちらからブートすればシステムの復元やセーフモードでの起動が試みれるかと。

正常動作しないwindows10をセーフモードで起動する方法
https://www.ikt-s.com/win10-force-safemode-boot/
強制終了を2回連続を行えば上記のようにセーフモードでの起動を試みたりシステムの復元を試すことも出来ます。