Flashプラグインが無効かインストール方法

回答No.3の方が提示してくださっている推奨環境では、PCではWindows 10以上となっています。
質問者さんは、「lavie Ls550 OS8.1」とのことですが、OS8.1とはWindows 8.1のことでしょうか？
そうなると推奨環境からは外れていますから、ひょっとするとWindowsのバージョンが影響しているかも知れませんね。

但し、私はWindows 10で、Firefox、Google Chrome、Microsoft Edgeの３つのブラウザでGYAOを視聴していますが、ブラウザのバージョン更新が遅れたりすると「Flashプラグインが無効かインストールがされていない」と表示されたりすることもありますから、ブラウザの更新もしてみては如何でしょう？

以下の推奨環境の確認はお済みでしょうか。
https://support.yahoo-net.jp/SccGyao/s/article/H000008307
もしかしたら、お使いのブラウザが古いため、再生がうまく行かないのかもしれません。

※
GyaOではFlash Playerが無い環境でも再生ができるよう対応済みです。

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上記にはInternet Explorer11も推奨環境に含まれますが、MicrosoftはEdgeへの移行を推奨しているため、ご利用はおすすめしません。

※
このような質問サイトを利用する場合、「すべてトライしたが直らない」ではなく、試した内容をお書きください。より正しい回答が得やすくなります。

※
製造時期により、違いがでることもあるので、正確な型番の確認もおすすめします。
https://support.nec-lavie.jp/navigate/support/download/help/Modelconfirm.html

以上、参考にならなかったらごめんなさい。

Flash Player はもうセキュリティ的に安全にすることは不可能、として、ブラウザ上での対応がどんどん外されてしまっています。
一応、今年いっぱいまでは使えたような気がしますが、いずれ他の方式に切り替えなければいけません。

Googleのブラウザ、「Google Chrome」でしたら、Flashを使わずに動画再生可能ですので、こちらをインストールしてみるのはどうでしょう。

＞Google Chrome のダウンロード
＞https://www.google.co.jp/chrome/browser/desktop/index.html

インストールできたら、ホームページにGYAO! を設定して、専用アプリみたいに使うのも良いと思います。

Adobe Flash Player、IEは一部サポートが終了しています。ご使用ブラウザがIEでしたら他のブラウザ（Microsoft Edge,Google Chrome等）に切り替える。

https://www.itra.co.jp/webmedia/flash_finish.html