プロジェクターと接続して動画やブルーレイを楽しむ方法は？

https://support.nec-lavie.jp/product-info?prodId=PC-GD339BCA7
https://shop.nec-lavie.jp/navigate/products/pc/161q/01/lavie/da/spec/index03.html?site=d
こちらのPCですね。
HDMI出力端子はないので他の方が回答されていますがUSB接続のHDMI出力アダプターを使うような手はあります。
https://www.sanwa.co.jp/product/syohin.asp?code=USB-CVU3HD1
上記などが一例になります。ただしこの手の製品の大半がHDCP（著作権保護）に対応しておらずBlu-rayディスクの再生は出来ないです。

https://www.amazon.co.jp/dp/B01BG9NG5E/
みたいなミラキャスト対応のアダプタをプロジェクターに接続するって方法はありますね。

パソコン側に映像出力が無いのでプロジェクターのHDMIにクロームキャストを取り付ければPC画面のミラーリングやYouTube等の動画の表示が可能になります。

Wi-Fi環境が必要ですが有線接続の必要がありません。

オールインワン型パソコンには、HDMI出力は無いことが多いですね…。
そのようなパソコンからHDMI出力したい場合、

＞USBグラフィック(USB-RGB3/H)
＞https://www.iodata.jp/product/av/graphicsboard/usb-rgb3h/

こういった外付けグラフィックアダプタを増設して、2画面ミラー出力にすれば、そちらをプロジェクタに映すことが出来ます。

ただしこういったUSBグラフィックスはHDCPに対応していないので、パソコンにTV機能がついている場合、このアダプタをつけている間はTVが映せなくなったりします。

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ところで、プロジェクタのメーカー・型番は何でしょうか?

パソコン側に対応する投影アプリを入れて、USB接続・Wi-Fi接続・有線LAN接続で画面転送できる場合があります。
ただしこれらの方法での画面転送は、HDMIに比べてフレームレートがかなり落ちることになります。(10fpsや、それ以下ぐらい)
ゲームや動画再生には、向きません。