VALLIESTARの一体型PC-VN770JS6R(JS1YR)の増設メモリに関するトラブル

https://support.nec-lavie.jp/product-info?prodId=PC-VN770JS6R
こちらのPCですね。

他の方が回答されていますがメモリが原因って可能性は低いですね。
メモリに問題があるならブルーバックのエラーが頻発したりとか電源が入るがBIOSのセットアップメニューすら起動しないとかBEEP音が鳴るだけなどって事は起こりますが電源が落ちるような事は普通は起きないです。
メモリの電気の消費量は高が知れているので電力不足で電源が落ちたって可能性は低いので。
疑われるのはPCの電源周りの不良？とかでしょうか。

メモリーの不具合を検証するのであれば、１枚ずつ挿してみて検証されてはどうでしょうか。不具合があればどちらか不具合を抱えている方を挿した時、不具合が再現すると思います。

既に何度か抜き差しをされているようですので、抜き差し方などは把握されていると思います。

関係ないかもしれませんが、マザーボードにあるボタン電池なども交換してみたいところです。

パソコンの動作時にメモリ診断およびフリーソフト「CrystalDiskInfo」をインストールしてHDDの健康診断して不具合の原因を探ってみてはいかがですか。

Windows 8 / 8.1でメモリ診断を行う方法　→　https://faq.nec-lavie.jp/qasearch/1007/app/servlet/qadoc?QID=017515&p=2
Windows 10でメモリ診断を行う方法　→　https://faq.nec-lavie.jp/qasearch/1007/app/servlet/relatedqa?QID=020115

CrystalDiskInfo　→　https://forest.watch.impress.co.jp/library/software/crdiskinfo/

メモリの消費電力は全体で見れば５％以下です、それで電源が落ちるようなら、メモリに無関係で電源が落ちるということになります。
一番考えられるのが、ACアダプターの断線（正確には切れかかっている）の場合は、同じ症状になります。
何度やっても起動しないのなら、メモリという考えもあります（メモリは壊れたら二度と元には戻りません、時々治るなんて事は無いのです）、それに起動しなくても電源ランプには影響しません（メイン基板にメモリ用電源があり過負荷保護が動作するのでメインの電源には影響しない）

VN770/JSであれば、2012年10月発売の機種ですね。
参考　http://www.necp.co.jp/press/ja/1210/1901.html
発売から8年以上経過していますから、メモリに起因する不具合というよりは経年劣化による内部故障（いわゆる寿命）と考えられた方が良いでしょう。
残念ながら、NECでの修理対応は既に終了していますので買い換えを検討されるのが最善策かと思われます。
参考　https://support.nec-lavie.jp/navigate/support/repair/partslimit/pdf/valuestar.pdf

以上、ご参考まで。