デスクトップPC型番MJ36HB-Jの電源が一度目の押しで入らない

老朽化が原因だと思います。電源スイッチの寿命か、コンデンサの劣化が原因でしょう。電源をボタンを押しても電源が入らない時は、何度か押していると入るはずですが、そのうちに何度押しても電源が入らない状態になります。電源を長押しすると入るはずですが、それでも入らなくなったら、買い替えた方が良いでしょうね。寿命が近づくと起こる現象です。

ミニタワーのパソコンですね。

もし、問題が電源ボタンだけであるなら分解して電源ボタンの掃除や接点復活剤を使用してみると言う手があります。

この機種は規格的分解しやすいので検索すると分解方法のブログや動画が見つかると思います。

動作可能の中古を購入して前面パネルやボタン自体を交換するのも良いと思います。
電源ユニットも交換出来る事になるので、予備パーツとして持っておくのもありではないかと思います。

https://www.bizpc.nec.co.jp/bangai/pcseek/cgi-bin/cpu_base.pl?BASE=MJ36HB%2DJ&SALE_KBN=
こちらですね。

http://www.bizpc.nec.co.jp/bangai/pcseek/cgi-bin/maintlimit.pl
などで調べた限りでは

補修用性能部品の保有期限：2020年 2月

となっており既にメーカー修理は出来ません。

故障している可能性があるとしたら電源ボタンの部品や電源ユニット、マザーボードと言ったのが疑われますが。

大事なデータは　他のメディアにバックアップする事が大事ですね
USBメモリやSDカード　DVD/CDなどです
(バックアップしているならスルーして下さい
)
注意するのは　メーカーに修理に出すとHDD/SSDは　工場出荷状態で帰ってきます
(メーカーの決まり事で　個人データは消されて帰ってきます)
メーカーの正常動作確認は　販売時の状態での動作確認になりますからね
たとえ　HDD/SSDが壊れていなくても消されます

使っているパソコンが保証期間を過ぎているなら　パソコンショップやリペアショップに依頼する方が良いですね

個人的に言えば　個人データは新しいパソコンに移動可能だし新しいパソコンでも使えます
動作不安定なパソコンは　いつ壊れるか怖くて使えませんね
本当は　新品か正常動作の物を購入する事をお勧めします
(サブのパソコンが有れば　回避出来る問題ですね)

パソコンはマザーボードのパワースイッチの＋－端子をショートさると電源スイッチが入り、起動します。電源ボタンは＋－端子をショートさせる単純な機能です。おそらくそれが壊れているのでしょう。そうであれば修理は比較的容易です。マザーボードのパワースイッチ機能が壊れていたらその限りでありません。買い換えしかありません。修理の依頼先は製造元（NEC）です。