フォーマットをしないで写真を取り込む方法

USBメモリのことでしょうか。
http://www.iodata.jp/support/qanda/answer/s16614.htm

ドライブのプロパティで容量が見える状態であれば論理障害で、軽度のものは市販のファイル復活ツールで一部読み出せる場合もあります。

ドライブのプロパティで容量が０になっている場合は、高率で物理障害ですので、修理業者に出して数万円から十数十万円の個別見積になります。

データの回収最優先の場合は、素人の生兵法は復旧を難しくするので、とにかく触らず、アクセスせず、専用の設備と技術を持つ業者に相談することを勧めます。
http://usbrepair.biz/

https://www.amazon.co.jp/iBUFFALO-microB-%E5%A4%89%E6%8F%9B%E3%82%A2%E3%83%80%E3%83%97%E3%82%BF%E3%83%BC-%E3%83%96%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%AF-BSMPC11C01BK/dp/B005WNBLN0/ref=pd_lpo_vtph_107_bs_t_2?_encoding=UTF8&psc=1&refRID=9TT60QFPRGSK3S9BK86M
↑のようなスマホからUSB端子に繋げる物を買いましょう
おそらく１００円ショップでもたまにありますよ。

後はパソコンを持っている友達に
USBメモリーの中身が見れるか？確認しましょう。

意味不明な質問ですね。　何をフォーマットするんですか？
パソコンのディスクをフォーマットするとWindowsも消えてしまい、パソコンとして使えなくなりますよ。

さて、SDカードか何かならカードリーダーの接触不良も考えられます。

デジタルカメラもしくはスマートフォン・携帯電話をUSBケーブルでパソコンと接続し取り込むことも可能です。
スマートフォン・携帯電話ならEメールに添付などの方法もあるでしょう。

他のカードリーダーを試してみても良いでしょう。
手元に他のカードリーダーが無ければカメラ店の店頭受付機で確認可能です。

やはり、憶測で書きますが、「フォーマット＝メモリーの初期化(クイックフォーマット)」ということでしょうか?

まず、確認として、メモリーの状態を確認することからお勧めします。何らかのメモリーをPCに繋いだ際に、”メモリーをフォーマットしますか?”に似たメッセージが出てくる場合、メモリーのフォーマットが壊れているか、そもそもメモリーが破損しているか、メモリーにアダプターなどついている場合とかアダプターに差し込んだ時に、しっかりと差し込めていないので、再度しっかりと差し込みPCに繋ぎます。これで、認識すれば、アダプターの不良か、予期せぬ稀なトラブルというのだと思います(接続エラー?)。

アダプターの破損も考えられますが、この場合フォーマットを促さず、読み込めない場合もあります。

個人的には、フォーマットをしなければいけない状態ではないと思います。なおかつフォーマットしてしまうと、復旧ソフトを持っていて、尚且つバイナリーの状態に断片化などが見られない場合に限りとか限定的になると思いますので、一般人はしない方がよいです。

最後に、本当に部分的なエラーだった場合は、ドライブのエラーチェックをすることだと思います。エクスプローラーにあるメモリーのドライブを右クリックしプロパティを出し、ツールのドライブのエラーチェックをすることです。その類が出来ることを前提に、DataRecovery 2.4.7.1などを使わせてもらう方法です。

まず確認です。次に復旧ソフトを使わせてもらうか、エラーチェックを試してみるかです。フォーマットはデータの消去をする方法か、フォーマットが何らかの原因で壊れた場合に念のためにします。