ダウンロードしたアプリが入っていません

タブレットのGoogle Playストアアプリを起動してから、目的のアプリをダウンロードしてみてください。

>別に持っているタブレットに同じアプリを同じアカウントで入れようとしたらすでにインストールされていると表示されますがタブレットのアプリの一覧には入っていません。

Web版Playストアの仕様です。そのまま「インストール済み」ボタンをクリックして、タブレットの方にインストールを行ってください。

アプリの対応OSバージョンとタブレットのOSバージョンはあってます?

>アプリはGoogleのアカウント１つで共有できないのでしょうか？
>もしそうであれば別のGoogleのアカウントを取得しなければいけないのでしょうか？

共有はできますよ。
私は、ATOKを複数の端末で共有して便利に使ってますけど。

なので、アカウントを別に取る必要は無いはずですが。

>入れようとしたらすでにインストールされていると表示されますが

「入れようとしたら」とか「インストールされていると表示されます」とかをもうちょっと細かく正確に伝えないと、答えようが無いですよ。