バッテリに問題あり　コンセントに繋がないと使えない状態です。使い続けても問題ないですか？

出来ればお使いのPCの正確な型番を書きましょう。PC本体底面に貼られたシールに記載があると思います。

他の方が回答されていますがそのままACアダプタを繋いで使用する分には特に問題はないです。

バッテリパック式ならバッテリパックを購入して取り替えたりするって手もありますし自身で交換できない内蔵タイプだと

バッテリ交換サービス
https://support.nec-lavie.jp/ss/battery/replace/
みたいな有償のサービスで交換するような方法があります。

問題は無いと思います。
たとえ蓄電できないバッテリーでも、接続されていなければコンセントで使えない設計になっているようですので。
持ち運びしなければ大丈夫だと思います。

特に問題はありません。マイページを開くとお使いのパソコンの画像が表示されます、その画像をクリックすると「商品情報検査　検索結果」が表示されます。オプションボタンが表示されていればクリックすると現在販売しているバッテリパック、ACアダプタ等が表示されますので手続きして入手できます。サポート情報の重要なお知らせに「この機種は、お客様ご自身でバッテリ交換ができない機種です。必要に応じて「バッテリ交換サービス（有償）」をご利用ください。」と表示されていればNECに交換依頼する。電源コンセントの無い場所でパソコンを使用しないのであればそのまま利用すれば費用はかかりません。

バッテリ交換の警告メッセージが表示された場合の対処方法
https://faq.nec-lavie.jp/qasearch/1007/app/servlet/relatedqa?QID=017470
バッテリーが劣化して十分充電が出来ないならそのまま使っていても
なんら問題はありません
バッテリーそのものに異常があるなら交換が望ましいですが
特にNECではバッテリーの異常のアナウンスもなさそうですし