お気に入りをバックアップする方法とは？

お気に入りはお気に入りのエクスポートでバックアップ出来ます。別のパソコンに持って行ってインポートもできます。こちらの方が便利かと。

表示が変わらないだけと思います、DVDドライブの仕様に合致していれば【DVD-Rは一回のみ書き込み可能メディア、DVD-RWは複数回書き込み可能であり追加も可能】に書き込みできます。ブルーレイドライブにDVD-Rをセットしてエクスプローラで照会してもドライブ名はBD-REのままです。DVD-Rをセットしておてがるバックアップバックアップしてみはいかがですか。

DVD-RをセットすればDVD-Rが表示されDVD-Rにバックアップ出来ると思います。外付けHDD、USBドライブ（注：USBフラッシュメモリではありません。）を接続すれば外付けHDD、USBドライブにバックアップ出来ると思います。なお、タスクバーからエクスプローラーを開いてイメージバックアップの場合は、外付けHDD内に「WindowsImageBackup」のフォルダが作成されますので確認できます。

https://support.nec-lavie.jp/product-info?prodId=PC-HA770RAW-E3
このあたりのPCでしょうか。

他の方が回答されていますがおてがるバックアップでDVD-RWにバックアップを作成した際に最後に完了のメッセージが表示されていれば少なくともおてがるバックアップってソフト側はDVD-RWにバックアップを正常に作成できたと認識しているとは思います。

エクスプローラーでバックアップを作成したDVD-RWの中身のファイルを確認してみる手もありますね。どの程度の容量のバックアップを取ったのか？わかりませんが取ったと思われるバックアップと同容量位のファイルがあればバックアップは取れているかな？って言うのはわかるかと。

おてがるバックアップの最後に「バックアップが正常に完了しました。」が表示されれば正常に完了したと判断してもいいと思います。なお、DVD-RWは上書き可能で間違って上書きしてしまう可能性もあります。バックアップメディアはDVD-RWよりDVD-Rの方がいいと思います。また、バックアップの方法としてはWindowsの標準ソフトで回復ドライブ、イメージバックアップ、修復ディスクの作成方法もあります。イメージバックアップをこまめにバックアップしておけば、イメージバックアップした日にちの状態にパソコンを復元することが可能です。

Windows 10の「おてがるバックアップ」でデータのバックアップ/復元を行う方法　→　https://faq.nec-lavie.jp/qasearch/1007/app/servlet/qadoc?QID=018388&p=1#a01

イメージバックアップ　→　https://faq.nec-lavie.jp/qasearch/1007/app/servlet/relatedqa?QID=018651
Windows 10で回復ドライブを作成する方法　→　https://faq.nec-lavie.jp/qasearch/1007/app/servlet/relatedqa?QID=018137