新しいルーターを導入してもニコニコ動画の通信ができない原因は？

ネットはつながっているようですので、まずはアプリが疑わしいかと。
ニコニコのヘルプページを張っておくのでご参照ください。

・Q.スマートフォンで動画・生放送視聴時にエラーが発生した場合の対処法について
https://qa.nicovideo.jp/faq/show/10460?site_domain=default

・『 動画の再生・生放送を視聴できない 』 内のFAQ一覧
https://qa.nicovideo.jp/category/show/416?site_domain=default

似たような症状（ニコニコではないですが、特定のアプリのみい通信できない）も結構あるみたいなので貼っておきます。

・特定のアプリのみが複数のandroid端末でプレイできず困っています。
https://support.google.com/googleplay/thread/12866480?hl=ja
この人の場合はルータの設定をアクセスポイントモードに切り替えたら解消したとの事。

・一部のWi-Fi環境において、アプリの一部機能が使用できなくなります。
https://support.google.com/pixelphone/thread/636065?hl=ja
この人の場合は解決していませんが、いろいろと対処法が書いてあるので試してみてはいかがでしょうか。

ニコ動利用経験無しですが　投稿なども行っている場合はアクセス権が必要になるようで　増設？した事でネットワーク情報が異なる状態になったのでは？

会員登録されている場合はユーザー情報を確認してみては如何でしょう

ルーターの型番もニコニコのアプリを使用している端末が何かも分からないのでインターネットつながっているならアプリが悪いとしか回答出来ない。

ネットがつながっているのでしたら、原因は新しいルーターやその設定ではありません。