AndroidのWi-Fi接続について

何をもって「インターネットにつながらない」を言っているのかによります。
前提条件は、4Gでは問題ないが、Wi-FiではWEBサイトの閲覧等ができない、とします。

ブラウザアプリ（chromeなど）でWEBサイトが閲覧できないときは、別のアプリで利用可能かを確認します。Twitter、YouTubeなどが利用できればブラウザの問題なので、アプリのバージョンを最新に上げてください。
複数のアプリで接続不可が確認できる場合、Wi-Fi接続でIPアドレスが正しく取得できているかを確認します。

「設定＞ネットワークトインターネット＞Wi-Fi＞接続中のSSID」と進んで、ネットワークの詳細の中の「詳細設定」から、「IPアドレス」欄を確認します。
ここが一般家庭では「192.168.xx.xx」となっているはずです。利用しているルーターメーカーによって192.168.1.xxや、192.168.11.xxと変わりますが、とにかくここの数字の先頭2桁が192.168であるかを確認してください。
ここが169.254.xxx.xxxになっているときは、正しいIPアドレスが取得できていないということになります。
パソコンがWi-Fiでつながっているならばルーターに問題なしと判断できるので、端末側の異常です。
パソコンが有線でつながっているなら、ルーターのWi-Fi機能か端末の異常となります。ほかの端末でWi-Fiでつながるのであれば、端末トラブル、つながらないならルータートラブルとなります。
ただ、169.254.xxx.xxxが出るときはインターネットに接続されていないのでWi-Fiマークに×が表示されるはずです。

簡易診断としては、Wi-Fiマーク正常で、パソコンは有線か無線か不明ながらもWEB閲覧可能となれば、端末の異常を疑うべきです。
Wi-Fiマーク正常なら、端末自体はインターネット接続を認識しているということになるので、それが結果として反映できていないことになります。
Wi-Fi再設定でもダメなら、スマホの初期化ぐらいしか方法はありませんが、それで100％改善するわけでもありません。

少なくとも、ぷららの接続に関してはパソコンで接続されているので問題はないということが確認できますので、Wi-Fi親機となるルーターメーカー（ホームゲートウェイなら回線担当事業者）か、Xperiaの製造元またはサポート元へ相談されたほうが良いでしょう。

※この質問はOKWaveに連携されています。ぷららの公式回答ではありません。