子機が充電されない

推定になりますが、子機の電池の寿命だろうと思いますので、
次のように対処することをお勧めします。
1)子機の裏ブタを開けますと、電池が収納されていますので、この
　電池を外します。
2)電池は似たような形状の電池が多数ありますので、同じ品番の
　電池を用意する必要はありますので、外した電池を持つて家電
　量販店に行きます。
3)応対に出た係員に電池を見せて「同じ品番の電池を購入したい」
　と伝えます。
4)係員が電池を用意しますので、品番を確認して購入します。
5)家に帰り、電池を子機に収めて充電台にセットします。
6)なお、初回の充電完了までの時間がかかるので、そのままにして
　おきます。
7)半日程度時間が経過したら子機の充電状態を確認します。

恐らく充電部の接触不良若しくは、充電部が破損している可能性が高いです。

ちょいと調べてみたらKX-FKD353の発売日は2014年6月。
10年前のモノだから、故障していても不思議じゃないけど、中の充電池が劣化して充電不能になっていても当たり前だったりする。

KX-FKD353の充電池の型番は「KX-FAN57」で、純正だったらPanasonic Storeで2,420円。
互換品で良いなら800円から1,000円弱で大きめの家電量販店やAmazonなどのネットショップで売っている。